contoh soal essay program linear

Contoh soal program linear & penyelesaiannya + pembahasan

Postingan ini membahas contoh soal program linear dan penyelesaiannya atau pembahasannya. Program linear merupakan pemecahan masalah dengan menggunakan pertidaksamaan linear. Program linear sebagai bagian dari matematika yang banyak digunakan dalam bidang ekonomi, pertanian dan perdagangan. Dengan menggunakan program linear, seseorang dapat menghitung keuntungan maksimum atau biaya minimum. Hal itu sangat bergantung pada pembatas atau kendala yaitu sumber daya yang tersedia.

Lalu bagaimana cara menyelesaikan soal program linear ?. Secara umum, langkah-langkah memecahkan masalah program linear sebagai berikut:

• Ubah persoalan kedalam bentuk model matematika . Model matematika akan membuat persoalan menjadi lebih sederhana sehingga mudah dipahami.
• Membuat sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan berdasarkan model matematika.
• Membuat grafik dan menentukan titik-titik potong pada grafik
• Hitung nilai fungsi tujuan berdasarkan titik-titik potong yang ditentukan.
• Berdasarkan nilai fungsi tujuan ini maka program linear telah diselesaikan.

Contoh soal program linear

Contoh soal 1

Seorang petani akan menanam jagung dan singkong dengan lahan yang dibutuhkan tidak lebih dari 50 petak. Petani tersebut membutuhkan pupuk sebanyak 30 kg per petak untuk memupuk jagung dan 60 kg perpetak untuk memupuk singkong. Jumlah pupuk yang tersedia adalah 2.400 kg. Jika keuntungan dari lahan jagung Rp 4.000.000,00 per petak dan lahan singkong Rp 6.000.000,00 per petak dalam sekali tanam, keuntungan maksimum petani tersebut adalah … A. Rp 460 juta B. Rp 360 juta C. Rp 325 juta D. Rp 260 juta E. Rp 160 juta

Penyelesaian soal + pembahasan

Untuk menjawab soal ini kita ubah terlebih dahulu persoalan petani menjadi model matematika dibawah ini.

Jadi model matematika soal diatas sebagai berikut:

• 30x + 60y ≤ 2400 atau x + 2y ≤ 80

Yang ditanyakan adalah keuntungan maksimum petani dengan rumus f(x,y) = 4.000.000x + 6.000.000 y.

Selanjutnya kita tentukan grafik pertidaksamaan diatas.

x + y ≤ 50 diperoleh:

• x = 0 maka y = 50 atau (0 , 50)
• y = 0 maka x = 50 atau (50 , 0)

x + 2y ≤ 80 diperoleh:

• x = 0 maka y = 40 atau (0 , 40)
• y = 0 maka x = 80 atau (80 , 0)

Untuk menentukan keuntungan petani kita subtitusikan titik (0 , 50), (40 , 0) dan A(20 , 30) ke persamaan f(x,y) = 4.000.000x + 6.000.000 seperti tabel dibawah ini:

Dari ketiga hasil diatas yang terbesar adalah 260.000.000. Jadi keuntungan maksimum petani adalah Rp 260.000.000 atau 260 juta rupiah. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 2

Seorang penjahit mempunyai persediaan 4 m kain wol dan 5 m kain satin. Dari kain tersebut akan dibuat 2 model baju. Baju pesta 1 memerlukan 2 m kain wol dan 1 kain satin, sedangkan baju pesta II memerlukan 1 m kain wol dan 2 m kain satin. Baju pesta I dijual dengan harga Rp. 600.000,00 dan baju pesta II dijual dengan harga Rp 500.000,00. Jika baju pesta tersebut terjual, hasil penjualan maksimum penjahit tersebut adalah… A. Rp 1.800.000,00 B. Rp 1.700.000,00 C. Rp 1.600.000,00 D. Rp 1.250.000,00 E. Rp 1.200.000,00

Kita ubah persoalan diatas menjadi model matematika seperti dibawah ini.

Yang ditanya adalah hasil penjualan maksimum dengan rumus f(x,y) = 600.000x + 500.000y.

2x + y = 4 diperoleh:

• x = 0 maka y = 4 atau (0,4)
• y = 0 maka x = 2 atau (2,0)

x + 2y = 5 diperoleh:

• x = 0 maka y = 2,5 (0,2,5)
• y = 0 maka x = 5 atau (5,0)

Selanjutnya kita subtitusikan titik (2,0), (0 , 2,5) dan (1 , 2) ke rumus penjualan maksimum 600.000x + 500.000y dan diperoleh:

Nilai yang terbesar adalah 1.600.000. Jadi hasil penjualan maksimum penjahit adalah Rp 1.600.000. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 3

Seorang petani memiliki lahan pertanian seluas 8 hektar. Ia akan menanam lahan tersebut dengan tanaman padi dan jagung. Dari satu hektar tanaman padi dapat dipanen 3 ton padi, sedangkan dari satu hektar jagung dapat dipanen 4 ton jagung. Petani itu ingin memperoleh hasil panen tidak kurang dari 30 ton. Jika biaya menanam 1 hektar tanaman padi adalah Rp 500.000,00 dan biaya menanam satu hektar tanaman jagung Rp 600.000,00 maka biaya minimum yang harus dikeluarkan petani adalah… A. Rp 4.800.000,00 B. Rp 4.700.000,00 C. Rp 4.600.000,00 D. Rp 4.500.000,00 E. Rp 4.400.000,00

Model matematika soal nomor 3 adalah x + y ≤ 8 ; 3x + 4y ≥ 30 ; x, y ≥ 0 dengan fungsi sasaran f(x, y) = 500.000x + 600.000y. Selanjutnya menentukan himpunan penyelesaian dengan cara seperti gambar dibawah ini.

Titik himpunan penyelesaian adalah (0 ; 7,5), (0 ; 8) dan (2 ; 6). Kemudian subtitusi ke fungsi sasaran f(x,y) = 500.000x + 600.000y sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

• f(0 ; 7,5) = 500.000 . 0 + 600.000 . 7,5 = 4.500.000
• f(0 , 8) = 500.000 . 0 + 600.000 . 8 = 4.800.000
• f(2 , 6) = 500.000 . 2 + 600.000 . 6 = 1.000.000 + 3.600.000 = 4.600.000

Karena yang ditanya biaya minimum berarti nilai terkecil yaitu Rp 4.500.000,00. Jawaban D.

Contoh soal 4

Untuk membuat satu bungkus kue kering A, Ani memerlukan 2 kg tepung terigu dan 1 kg mentega. Sedangkan untuk membuat 1 bungkus kue kering B diperlukan 1 kg tepung terigu dan 2 kg mentega. Ani hanya membeli 12 kg tepung terigu dan 18 kg mentega. Jika harga 1 bungkus kue kering A Rp 60.000,00 dan harga 1 bungkus kue kering B Rp 90.000,00, pendapatan maksimum yang diperoleh Ani adalah… A. Rp 360.000,00 B. Rp 480.000,00 C. Rp 540.000,00 D. Rp 620.000,00 E. Rp 840.000,00

Model matematika soal nomor 4 adalah 2x + y ≤ 12 ; x + 2y ≤ 18 ; x,y ≥ 0 dengan fungsi sasaran f(x,y) = 60.000x + 90.000y. Selanjutnya tentukan himpunan penyelesaian seperti ditunjukkan gambar dibawah ini.

Titik HP adalah (0, 9) ; (6, 0) dan (2, 8) disubtitusi ke f(x,y) = 60.000x + 90.000y sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

• f(0, 9) = 60.000 . 0 + 90.000 . 9 = 810.000
• f(6, 0) = 60.000 . 6 + 90.000 . 0 = 360.000
• f(2, 8) = 60.000 . 2 + 90.000 . 8 = 120.000 + 720.000 = Rp 840.000,00

Jadi soal ini jawabannya E.

Contoh soal 5

Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian permasalahan program linear.

Nilai maksimum dari z = 40x + 30y adalah… A. 15.000 B. 16.000 C. 18.000 D. 20.000 E. 25.000

Penyelesaian soal / pembahasan

Subtitusi titik (0, 500) ; (400, 0) dan (300, 200) ke fungsi sasaran z = 40x + 30 y sehingga hasilnya sebagai berikut:

• z(0, 500) = 40 . 0 + 30 . 500 = 15.000
• z(400, 0) = 40 . 400 + 30 . 0 = 16.000
• z(300, 200) = 40 . 300 + 30 . 200 = 18.000

Nilai yang terbesar adalah 18.000 sehingga nilai maksimumnya 18.000. Jawaban C.

Contoh soal 6

Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian permasalahan program linear.

Hitunglah nilai minimum dari fungsi z = 2x + 5y adalah … A. 6 B. 7 C. 10 D. 15 E. 29

Masukkan titik HP yaitu A(0,2) ; B(1, 1), C(3, 0) ; D(5, 1) dan E(2, 5) ke fungsi sasaran z = 2x + 5y seperti tabel dibawah ini.

• z(0, 2) = 2 . 0 + 5 . 2 = 10
• z(1, 1) = 2 . 1 + 5 . 1 = 7
• z(3, 0) = 2 . 3 + 5 . 0 = 6
• z(5 , 1) = 2 . 5 + 5 . 1 = 15
• z(2, 5) = 2 . 2 + 5 . 5 = 29

Nilai yang terkecil adalah 6 sehingga nilai minimum sebesar 6. Jawaban A.

Contoh soal 7

Seorang pedagang kue mempunyai persediaan 9 kg tepung dan 6 kg mentega. Pedagang memproduksi kue jenis isi pisang dan isi keju. Untuk membuat kue jenis isi pisang memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan jenis isi keju memerlukan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Apabila harga sebuah kue jenis pisang Rp 6.000,00 dan isi keju Rp 4.000,00, keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah… A. Rp 120.000,00 B. Rp 240.000,00 C. Rp 420.000,00 D Rp 480.000,00 E. Rp 500.000,00

9 kg = 9.000 gram dan 6 kg = 6.000 gram.

Model matematika:

• 150 x + 75y ≤ 9000 atau 2x + y ≤ 120
• 50x + 75y ≤ 6000 atau 2x + 3y ≤ 240
• Fungsi sasaran 6000x + 4000y

Dari persamaan 2x + y = 120 diperoleh:

• x = 0 maka y = 120 atau (0, 120)
• y = 0 maka x = 60 atau (60, 0)

Dari persamaan 2x + 3y = 240 diperoleh:

• x = 0 maka y = 80 atau (0, 80)
• y = 0 maka x = 120 atau (120, 0)

Subtitusi titik (0, 60), (80, 0) dan (30, 60) ke fungsi sasaran 6.000x + 4.000y dan hasilnya sebagai berikut.

• f(0, 60) = 6.000 . 0 + 4.000 . 60 = 240.000
• f(80, 0) = 6.000 . 80 + 4.000 . 0 = 480.000
• f(30, 60) = 6.000 . 30 + 4.000 . 60 = 180.000 + 240.000 = 420.000

Jadi keuntungan maksimum pedagang sebesar Rp 480.000,00. Jawaban D.

Selanjutnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal program linear lainnya tapi tanpa pembahasan atau sebagai latihan soal.

Soal 1 – Luas area parkir adalah 176 m 2 . Luas rata-rata mobil sedan dan bus masing-masing 4 m 2 dan 20 m 2 . Area parkir tersebut hanya mampu menampung 20 kendaraan, dengan biaya parkir untuk mobil dan bus masing-masing Rp 1.000,00 per jam dan Rp 2.000,00 per jam. Jika dalam waktu 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi atau datang, hasil maksimum area parkir tersebut adalah… A. Rp 20.000,00 B. Rp 26.000,00 C. Rp 30.000,00 D. Rp 34.000,00 E. Rp 44.000,00

Soal 2 – Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu jenis A sekurang-kurangnya 100 pasang dan jenis sepatu B sekurang-kurangnya 150 pasang. Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan yang diperoleh per sepasang sepatu A adalah Rp 10.000,00 dan Rp 5.000,00 untuk jenis A. Jika banyak sepatu jenis A tidak boleh melebihi 150 pasang, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh toko tersebut adalah… A. Rp 2.750.000,00 B. Rp 3.000.000,00 C. Rp 3.250.000,00 D. Rp 3.500.000,00 E. Rp 3.750.000,00

Soal 3 – Seorang pedagang arloji membeli arloji merek A seharga Rp 60.000,00 dan merek B seharga Rp 240.000,00. Tas pedagang tersebut hanya mampu memuat tidak lebih dari 30 arloji. Modal pedagang tersebut Rp 3.600.000,00. Jika keuntungan arloji merek A Rp 25.000,00 dan keuntungan merek B Rp 75.000,00, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang itu adalah… A. Rp 750.000,00 B. Rp 1.125.000,00 C. Rp 1.250.000,00 D. Rp 2.250.000,00 E. Rp 2.275.000,00

Soal 4 – seorang anak diharuskan mengonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp 400,00 per biji dan tablet kedua Rp 800,00 per biji, pengeluaran minimum untuk membeli tablet perhari adalah… A. Rp 1.200,00 B. Rp 1.400,00 C. Rp 1.600,00 D. Rp 1.800,00 E. Rp 2.000,00

• Contoh soal segitiga pascal atau barisan bilangan tingkat dua
• 6 soal cerita aljabar dan pembahasannya

You cannot copy content of this page

Mathcyber1997

God used beautiful mathematics in creating the world – Paul Dirac

Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Program Linear (Tingkat SMA/Sederajat)

      Berikut ini penulis sajikan sejumlah soal dan pembahasan super lengkap tentang program linear (tingkat SMA/Sederajat) yang dikumpulkan dari uji kompetensi buku pegangan siswa, ujian sekolah, dan ujian nasional. Semoga dapat dimanfaatkan dengan sebaik-baiknya untuk keperluan asesmen dan pemantapan pemahaman materi. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 295 KB) .

Baca:  Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus

       Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com  dengan mendaftar di  .  Folder soal tersebut tidak hanya berisi soal UTBK-SNBT, melainkan juga soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi, soal kompetensi matematika, dan masih banyak lagi.

Today Quote

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Grafik garis lurus di atas memotong sumbu $X$ di $(-3, 0)$ dan memotong sumbu $Y$ di $(0,-1).$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $\begin{aligned}-1x + (-3)y & = (-1)(-3) \\-x- 3y & = 3 \\ 3y + x & =-3 \end{aligned}$ Uji titik $(0, 0)$ untuk mengecek tanda: $0 + 3(0) = 0 \geq-3.$ Dengan demikian, pertidaksamaan garisnya adalah $\boxed{3y + x \geq-3}$ (Catatan: Bila garisnya putus-putus, gunakan tanda $>$) (Jawaban A)

Soal Nomor 2

Titik potong garis $2x + y \leq 6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut. $\begin{array}{|c|c|c|} \hline  x & 0 & 3 \\ \hline y & 6 & 0 \\ \hline (x, y) & (0,6) & (3, 0) \\ \hline \end{array}$ Daerah I dan III adalah  daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini karena bertanda $\leq$ (arsirannya ke bawah). Titik potong garis $x+3y \geq 6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut. $\begin{array}{|c|c|c|} \hline  x & 0 & 6 \\ \hline y & 2 & 0  \\ \hline (x, y) & (0,2) & (6, 0) \\ \hline \end{array}$ Daerah III dan IV adalah  daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini karena bertanda $\geq$ (arsirannya ke atas). Perhatikan bahwa pertidaksamaan $x \geq 0, y \geq 0$ membatasi daerah penyelesaiannya hanya pada kuadran pertama. Daerah irisannya adalah daerah III. Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut adalah daerah III . (Jawaban C) 

Soal Nomor 3

Grafik dari pertidaksamaan $3x + 2y \leq 36$ memotong sumbu $X$ di $x = 12$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 18$. Karena bertanda $\leq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke bawah, yaitu daerah II, III, dan V.  Grafik dari pertidaksamaan $x + 2y \geq 20$ memotong sumbu $X$ di $x = 20$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 10$. Karena bertanda $\geq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke atas, yaitu daerah I, II, dan V.  $x, y$ juga bertanda nonnegatif. Ini berarti, daerah penyelesainnya hanya termuat di kuadran pertama. Dengan demikian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah II. (Jawaban D)

Soal Nomor 4

Soal Nomor 5

Soal Nomor 6

• $3x + 4y \geq 12; 3x+y \leq 6;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $3x + 4y \leq 12; 3x+y \geq 6;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $3x + 4y \geq 12; x+y \leq 6;$ $x \leq 0; y \geq 0$
• $3x + 4y \leq 12; 3x+y \leq 6;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $3x + 4y \geq 12; 3x+y \geq 6;$ $x \geq 0; y \geq 0$

Persamaan garis yang memotong sumbu $X$ di $x = 4$ dan sumbu $Y$ di $y = 3$ adalah $3x + 4y = 12$. Tanda ketaksamaan yang sesuai dengan daerah arsiran adalah $\geq$ karena arsirannya di atas garis sehingga diperoleh pertidaksamaan linear $3x+4y \geq 12.$ Persamaan garis yang memotong sumbu $X$ di $x = 2$ dan sumbu $Y$ di $y = 6$ adalah $6x + 2y = 12$ atau disederhanakan menjadi $3x+y = 6$. Tanda ketaksamaan yang sesuai dengan daerah arsiran adalah $\leq$ karena arsirann ya di bawah garis sehingga diperoleh pertidaksamaan linear $3x+y \leq 6$. Karena daerah arsiran terletak di kuadran pertama, maka kendala nonnegatif ($x, y$ tak boleh bernilai negatif) diberlakukan. Jadi, sistem pertidaksamaan linearnya adalah $\begin{cases} 3x + 4y \geq 12 \\ 3x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 7

Persamaan garis pertama: $50x + 40y = 50 \cdot 40 = 2000$, kemudian disederhanakan dengan membagi 10 pada kedua ruasnya sehingga didapat $\boxed{5x + 4y = 200}$ Titik $(0, 0)$ merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya) sehingga diperoleh $\boxed{5x + 4y \leq 200}$ Persamaan garis kedua: $40x + 80y = 40 \cdot 80 = 3200$, kemudian disederhanakan dengan membagi 40 pada kedua ruasnya sehingga didapat $\boxed{x + 2y = 80}$ Titik $(0, 0)$ merupakan juga salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya) sehingga diperoleh $\boxed{x + 2y \leq 80}$ Kendala nonnegatif diberikan oleh $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ karena daerah penyelesaiannya hanya memuat kuadran pertama. Jadi, sistem persamaan sesuai dengan daerah penyelesaian yang diberikan tersebut adalah $$\boxed{5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0; y \geq 0}$$ (Jawaban E) 

Soal Nomor 8

Daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan $x \geq 2$; $y \leq 8$, $x-y \leq 2$ berbentuk $\cdots \cdot$ A. segitiga lancip B. segitiga sama sisi C. segitiga sebarang D. segitiga tumpul sama kaki E. segitiga siku-siku sama kaki

Soal Nomor 9

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut. $\begin{cases} 5x + 5y & = 25 \Rightarrow x + y = 5 \\ 3x + 6y & = 18 \Rightarrow x + 2y = 6 \end{cases}$ Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh $\begin{aligned} & x + y  = 5 \\ & x + 2y = 6 \\ & \rule{2.2 cm}{0.6pt}- \\ &-y  =-1 \\ & y = 1 \end{aligned}$ Substitusikan $y = 1$ pada persamaan pertama, $\begin{aligned} x + y & = 5 \\ x + 1 & = 5 \\ x & = 4 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(4, 1)$. Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(0,0),$ $(0, 3), (4, 1)$, dan $(5, 0)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $P = 3x + 5y$. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 3x+5y \\ \hline (0, 0) & 3(0) + 5(0) = 0 \\  (0, 3) & 3(0) + 5(3) = 15  \\  \color{red}{(4, 1)} & \color{red}{3(4) + 5(1) = 17} \\ (5, 0) & 3(5) + 5(0) = 15 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $P = 3x+5y$ adalah $\boxed{17}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 10

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut. $\begin{cases} 6x + 3y & = 18 \Rightarrow 2x + y = 6 \\ 4x + 4y & = 16 \Rightarrow x + y = 4 \end{cases}$ Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh $\begin{aligned} & 2x + y  = 6 \\ & x + y = 4 \\ & \rule{2.2 cm}{0.6pt}- \\ & x  = 2 \end{aligned}$ Substitusikan $x = 2$ pada persamaan kedua, $\begin{aligned} x + y & = 4 \\ 2 + y & = 4 \\ y & = 2 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(2, 2).$ Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(4, 0), (2, 2)$, dan $(0, 6)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $Z=2x+5y$. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z=2x+5y \\ \hline  \color{red}{ (4, 0)} & \color{red}{2(4) + 5(0) = 8} \\ (2, 2) & 2(2) + 5(2) = 14  \\ (0, 6) & 2(0) + 5(6) = 30 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, nilai minimum fungsi objektif $Z=2x+5y$ adalah $\boxed{8}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 11

Nilai maksimum fungsi objektif $f(x,y)=4x+5y$ yang memenuhi sistem pertidaksamaan $x+2y \geq 6$ ;$x+y \leq 8$; $x \geq 0;y\geq 2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $15$                     C. $34$                  E. $42$ B. $18$                     D. $40$        

Baca Juga:  Soal dan Pembahasan- SPLDV

Soal Nomor 12

Soal Nomor 13

Luas daerah yang dibatasi oleh $2x-y \leq 2$, $x+y \leq 10$, dan $x \geq-2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $44$ satuan luas                B. $48$ satuan luas                C. $50$ satuan luas D. $54$ satuan luas E. $56$ satuan luas

Soal Nomor 14

Agar fungsi $f(x, y)=nx+4y$ dengan kendala $2x+y \geq 10$, $x+2y \geq 8$, $x \geq 0,$ dan $y \geq 0$ mencapai minimum hanya di titik $(4, 2)$, maka konstanta $n$ memenuhi $\cdots \cdot$ A. $n \leq -8$ atau $n \geq -2$ B. $n \leq 2$ atau $n \geq 8$ C. $-2 \leq n \leq 8$ D. $2 \leq n \leq 8$ E. $2 \leq n \leq 10$

Gunakan konsep gradien fungsi. $$\boxed{\text{Garis}~ax+by+c=0~\text{memiliki gra}\text{dien}~m = -\dfrac{a}{b}}$$

• Gradien $f(x, y) = nx + 4y$ adalah $m = -\dfrac{n}{4}$.
• Gradien $2x+y=10$ adalah $m=-2$.
• Gradien $x+2y=8$ adalah $m=-\dfrac12$.

Soal Nomor 15

Jika nilai maksimum $x+y$ pada himpunan $\{(x, y)~|~x \geq 0,$ $y \geq 0, x+3y \leq 6, 3x+y \leq a\}$ adalah $4$, maka nilai $a = \cdots \cdot$ A. $6$                     C. $10$                 E. $16$ B. $8$                     D. $12$

Syarat batas nilai $x$ adalah $\begin{cases} x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \\ \color{blue}{x+3y} & \leq \color{blue}{6} \\ \color{red}{3x+y} & \leq \color{red}{a} \end{cases}$ Dari sini, kita dapat peroleh $\begin{aligned} \color{blue}{(x+3y)}+\color{red}{(3x+y)} & \leq \color{blue}{6}+\color{red}{a} \\ 4x+4y & \leq 6+a \\ 4(x+y) & \leq 6+a \end{aligned}$ Nilai maksimum $x+y$ adalah $4$ sehingga $\begin{aligned} 4 \times \color{blue}{4} & = 6+a  \\ 16 & = 6+a \\ a & = 10 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{a=10}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 16

Seorang pedagang paling sedikit menyewa $28$ kendaraan untuk jenis truk dan colt, dengan jumlah yang diangkut sebanyak $272$ karung. Truk dapat mengangkut tidak lebih dari $14$ karung dan colt $8$ karung. Ongkos sewa truk Rp500.000,00 dan colt Rp300.000,00. Jika $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah $\cdots \cdot$

• $x + y \leq 28; 7x + 4y \leq 136;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $x + y \geq 28; 7x + 4y \leq 136;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $x + y \geq 28; 4x + 7y \geq 136;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $x + y \leq 28; 7x + 4y \geq 136;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $x + y \leq 28; 4x + 7y \leq 136;$ $x \geq 0; y \geq 0$

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah. $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Truk} & \text{Colt} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Banyak Karung} & 14 & 8  & \leq 272 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 28 \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{cases} x + y \geq 28 \\  14x + 8y \leq 272 \Rightarrow 7x + 4y \leq 136 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ (Jawaban B) 

Soal Nomor 17

Anis akan membeli mangga dan apel. Jumlah buah yang dibeli paling sedikit $12$ buah. Mangga yang dibeli paling banyak $6$ buah. Harga mangga Rp2.000,00 per buah dan apel Rp4.000,00 per buah. Ia mempunyai uang Rp20.000,00. Jika ia membeli $x$ mangga dan $y$ apel, maka sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah $\cdots \cdot$ A. $x + 2y \geq 10; x + y \geq 12; x \geq 6$ B. $x + 2y \leq 10; x + y \geq 12; x \leq 6$ C. $x + 2y \leq 10; x + y \leq 12; x \geq 6$ D. $x + 2y \leq 10; x + y \geq 12; x \geq 6$ E. $x + 2y \geq 10; x + y \geq 12; x \leq 6$

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya mangga dan $y$ menyatakan banyaknya apel, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah. $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mangga} & \text{Apel} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Uang} & 2.000 & 4.000  &  \leq 20.000 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 12 \\ & \leq 6 & & \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{cases} 2.000x + 4.000y \leq 20.000 \Leftrightarrow x + 2y \leq 10 \\  x + y \geq 12 \\ x \leq 6 \end{cases}$$ (Jawaban B) 

Soal Nomor 18

Seorang pengusaha roti akan membuat roti. Roti jenis I membutuhkan $20$ gram tepung dan $10$ gram mentega, sedangkan roti jenis II membutuhkan $15$ gram tepung dan $10$ gram mentega. Bahan yang tersedia adalah tepung $5$ kg dan mentega $4$ kg. Jika $x$ menyatakan banyaknya roti jenis I dan $y$ menyatakan banyaknya jenis roti II, model matematika persoalan tersebut adalah $\cdots \cdot$ $$\begin{aligned} & \text{A}. 4x+3y \geq 1000; x+y \geq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{B}. 4x+3y \geq 1000; x+y \leq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{C}. 4x+3y \leq 1000; x+y \geq 400; x \geq 0; y \leq 0 \\ & \text{D}. 4x+3y \leq 1000; x+y \leq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{E}. 4x+3y \geq 1000; x+y \geq 400; x \leq 0; y \leq 0 \end{aligned}$$

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut. $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Roti Jenis I} & \text{Roti Jenis II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Tepung} & 20 & 15  & \leq 5000 \\ \text{Mentega} & 10 & 10 & \leq 4000 \\ \hline \end{array}$$Semua satuan produk pada tabel di atas menggunakan satuan gram (5 kg = 5.000 g, 4 kg = 4.000 g). Tanda $\leq$ digunakan karena kebutuhan bahan pembuatan roti tidak boleh melebihi persediaan yang ada. Karena $x, y$ masing-masing mewakili banyaknya roti jenis I dan roti jenis II, maka haruslah $x \geq 0, y \geq 0$. Untuk itu, model matematika persoalan tersebut adalah $\begin{cases} 20x + 15y \leq 5.000 \\ 10x + 10y \leq 4.000 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ atau disederhanakan menjadi $\begin{cases} 4x + 3y \leq 1.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 19

Luas sebuah tempat parkir adalah $420~\text{m}^2$. Tempat parkir yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah $5~\text{m}^2$ dan luas rata-rata sebuah truk $15~\text{m}^2$. Tempat parkir tersebut dapat menampung tidak lebih dari $60$ kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah sedan Rp3.000,00 dan untuk sebuah truk Rp5.000,00. Jika banyak sedan yang diparkir $x$ buah dan banyak truk $y$ buah, model matematika dari masalah tersebut adalah $\cdots \cdot$

• $x+3y \leq 84; x + y \leq 60;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $x+3y \geq 84; x + y \leq 60;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $x+3y \leq 84; x + y \geq 60;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $x+3y \geq 84; x + y \geq 60;$ $x \geq 0; y \geq 0$
• $3x+y \leq 84; x + y \leq 60;$ $x \geq 0; y \geq 0$

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya sedan dan truk. Untuk itu, dapat dibuat sistem pertidaksamaan linear yang disusun berdasarkan tabel berikut. $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Sedan} & \text{Truk} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas parkiran} & 5 & 15  & \leq 420 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 60 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 5x + 15y \leq 420 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ atau disederhanakan menjadi $\begin{cases} x + 3y \leq 84 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ (Jawaban A) 

Soal Nomor 20

Untuk menambah penghasilan, seorang ibu rumah tangga setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp1.000,00 dengan keuntungan Rp800,00, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp1.500,00 dengan keuntungan Rp900,00. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp500.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi $400$ kue, maka keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu rumah tangga tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. Rp300.000,00            B. Rp320.000,00             C. Rp340.000,00 D. Rp360.000,00 E. Rp400.000,00

Soal Nomor 21

Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung $5$ unit vitamin A dan $3$ unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung $10$ unit vitamin A dan $1$ unit vitamin B. Dalam $1$ hari, anak tersebut memerlukan $25$ vitamin A dan $5$ unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per butir dan tablet II Rp8.000,00 per butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah $\cdots \cdot$ A. Rp6.000,00 B. Rp6.700,00 C. Rp7.000,00 D. Rp20.000,00 E. Rp22.000,00   

Soal Nomor 22

Suatu area parkir mempunyai luas $1.760~\text{m}^2$. Luas rata-rata untuk mobil kecil $4~\text{m}^2$ dan mobil besar $20~\text{m}^2$. Daya tampung daerah parkir maksimum 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam daerah parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka penghasilan maksimum tempat parkir itu sebesar $\cdots \cdot$ A. Rp176.000,00           B. Rp200.000,00           C. Rp260.000,00 D. Rp300.000,00 E. Rp340.000,00

Soal Nomor 23

Panitia karyawisata suatu sekolah ingin menyewa 2 jenis bus selama 3 hari. Bus jenis A dapat menampung $30$ orang dengan harga Rp3.000.000,00. Bus jenis B dapat menampung 40 orang dengan harga Rp4.500.000,00. Karyawisata tersebut diikuti oleh $240$ orang. Jika bus yang dibutuhkan paling banyak $7$ unit, maka jenis bus yang harus disewa agar pengeluaran seminimum mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. 7 bus jenis A B. 6 bus jenis B C. 4 bus jenis A dan 3 bus jenis B D. 3 bus jenis B dan 4 bus jenis A E. 2 bus jenis A dan 3 bus jenis B

Soal Nomor 24

Seorang pedagang kopi akan membuat kopi campuran dengan cara mencampur kopi toraja dan kopi flores. Kopi campuran yang pertama terdiri dari 4 kg kopi toraja dan 6 kg kopi flores, sedangkan kopi campuran yang kedua terdiri dari 8 kg kopi toraja dan 2 kg kopi flores. Kopi yang tersedia untuk kopi toraja dan kopi flores berturut-turut adalah 48 ton dan 54 ton. Jika harga jual kopi campuran pertama adalah Rp80.000,00/kg dan harga jual kopi campuran kedua adalah Rp100.000,00/kg, maka penjualan maksimum yang diperoleh sebesar $\cdots \cdot$ A. Rp600.000.000,00 B. Rp720.000.000,00 C. Rp852.000.000,00 D. Rp900.000.000,00 E. Rp974.000.000,00

Soal Nomor 25

Bu Beatrix menjual dua jenis kue, yaitu kue sus kering dan kue nastar. Kue sus kering dibeli dengan harga Rp20.000,00 per stoples dan dijual dengan laba $40\%$. Kue nastar dibeli dengan harga Rp30.000,00 per stoples dan dijual dengan laba $30\%$. Jika Bu Beatrix memiliki modal Rp10.000.000,00 dan penjualan maksimum sebanyak $400$ stoples per hari, maka keuntungan maksimum yang diperoleh Bu Beatrix adalah $\cdots \cdot$ A. Rp3.000.000,00 B. Rp3.200.000,00 C. Rp3.400.000,00 D. Rp3.600.000,00 E. Rp4.000.000,00

Soal Nomor 26

Seorang penjahit memiliki persediaan $20$ m kain polos dan $20$ m kain bergaris untuk membuat $2$ jenis pakaian. Pakaian model $1$ memerlukan $1$ m kain polos dan $3$ m kain bergaris. Pakaian model II memerlukan $2$ m kain polos dan $1$ m kain bergaris. Pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. Rp1.400.000,00 B. Rp1.600.000,00 C. Rp1.800.000,00 D. Rp1.900.000,00 E. Rp2.000.000,00

Soal Nomor 27

Seorang perajin tas membuat dua jenis tas. Sebuah tas jenis I memerlukan $300~\text{cm}^2$ kulit sintetis dan $1.000~\text{cm}^2$ kain kanvas, sedangkan sebuah tas jenis II memerlukan $250~\text{cm}^2$ kulit sintetis dan $500~\text{cm}^2$ kain kanvas. Persediaan kulit sintetis dan kain kanvas berturut-turut adalah $4.500~\text{cm}^2$ dan $12.000~\text{cm}^2$. Perajin tas menginginkan laba dari penjualan tas jenis I dan tas jenis II berturut-turut sebesar Rp30.000,00 dan Rp25.000,00 per buah. Jika seluruh tas terjual, laba maksimum yang dapat diperoleh perajin tas adalah $\cdots \cdot$ A. Rp360.000,00 B. Rp435.000,00 C. Rp450.000,00 D. Rp540.000,00 E. Rp630.000,00

Soal Nomor 28

Pak Chandra memiliki suatu home industry alat kesenian yang menghasilkan 2 jenis produk, yaitu alat kesenian A dan B. Dua jenis alat kesenian tersebut diproduksi dengan mesin pemotong dan mesin pengamplas. Untuk memproduksi alat kesenian A diperlukan waktu kerja 2 jam pada mesin pemotong dan 1 jam pada mesin pengamplas. Untuk memproduksi alat kesenian B diperlukan waktu kerja 2 jam pada mesin pemotong dan 3 jam pada mesin pengamplas. Tiap jenis mesin bekerja tidak lebih dari $12$ jam sehari. Pak Chandra memperkirakan laba dari penjualan tiap unit alat kesenian A sebesar Rp175.000,00 dan alat kesenian B sebesar Rp215.000,00. Jika Pak Chandra memiliki 3 unit mesin pemotong dan 3 unit mesin pengamplas, maka keuntungan maksimumnya adalah $\cdots \cdot$ A. Rp1.575.000,00 B. Rp1.935.000,00 C. Rp2.580.000,00 D. Rp3.150.000,00 E. Rp3.510.000,00

Soal Nomor 29

Pak Alim memiliki lahan pertanian seluas $8$ hektare. Ia akan menanami lahan tersebut dengan tanaman padi dan jagung. Dari satu hektare lahan yang ditanam padi dapat dipanen $3$ ton padi, sedangkan dari satu hektare lahan yang ditanam jagung dapat dipanen $4$ ton jagung. Pak Alim ingin memperoleh hasil panen tidak kurang dari $30$ ton. Jika biaya menanam padi pada $1$ hektare lahan adalah Rp500.000,00 dan biaya menanam jagung pada $1$ hektare lahan adalah Rp600.000,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan Pak Alim adalah $\cdots \cdot$ A. Rp5.500.000,00 B. Rp5.000.000,00 C. Rp4.800.000,00 D. Rp4.500.000,00 E. Rp4.200.000,00

Soal Nomor 30

Pemerintah akan mengirim bantuan logistik minimal berupa $100$ peti makanan dan $84$ peti obat-obatan menggunakan $2$ jenis kendaraan, yaitu helikopter dan truk. Helikopter dapat mengangkut $10$ peti makanan dan $14$ peti obat-obatan. Truk dapat mengangkut $10$ peti makanan dan $6$ peti obat-obatan. Jika biaya operasional pengiriman menggunakan helikopter adalah Rp2.500.000,00 dan truk Rp1.500.000,00 sekali jalan, maka biaya minimum untuk mengangkut seluruh bantuan logistik adalah $\cdots \cdot$ A. Rp10.000.000,00 B. Rp12.000.000,00 C. Rp18.000.000,00 D. Rp21.000.000,00 E. Rp25.000.000,00

Soal Nomor 31

Sebuah industri rumah tangga pembuat paku membuat $2$ jenis paku dan bahan yang tersedia setiap harinya, yaitu $60$ kg bahan $A$ dan $72$ kg bahan $B$. Tiap satu buah paku jenis I memerlukan $200$ gram bahan $A$ dan $160$ gram bahan $B$, sedangkan tiap satu buah paku jenis II memerlukan $250$ gram bahan $A$ dan $400$ gram bahan $B$. Jika paku jenis I dijual dengan harga Rp500,00/buah dan paku jenis II dijual dengan harga Rp350,00/buah, maka banyak paku yang harus dibuat setiap hari agar penghasilan maksimum adalah $\cdots \cdot$

• $120$ buah paku jenis I dan $150$ buah paku jenis II
• $180$ buah paku jenis II
• $300$ buah paku jenis II
• $300$ buah paku jenis I

Bagian Uraian

Apakah fungsi tujuan $f(x, y) = x-y$ memiliki nilai minimum pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $x + y \ge -3,$ $x + y \le 1,$ dan $y \ge 0$?

Suatu lembaga survei disewa oleh stasiun TV di kota A untuk mengetahui animo pemirsa tentang program-program penyiaran TV tersebut. Ketentuan-ketentuan responden yang diajukan oleh pihak TV adalah sebagai berikut.

• Responden sekurang-kurangnya $500$ orang yang berasal dari luar kota A.
• Banyak responden dalam kota A tidak lebih dari responden luar kota A.
• Jumlah semua responden tidak lebih dari $1.500$ orang.

Jika lembaga survei telah menetapkan bahwa banyaknya responden di luar kota dan dalam kota A berturut-turut adalah $x$ dan $y$, maka:

• tuliskan sistem pertidaksamaan yang memenuhi masalah di atas;
• gambarkan daerah penyelesaiannya;
• tentukan koordinat titik pojoknya.

21 Replies to “Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Program Linear (Tingkat SMA/Sederajat)”

makasih bos ujian mw saya nilainya 96, mantap !!

terimakasih, soal-soalnya sangat membantu.

Sama-sama, Kak

terimakasih sangat membantu

Terima kasih kembalii 😀

terima kasih sangat membantu

makasih banyak min

Alkhamdulillah lumayan paham

sangat membantu tugas saya sebagai pendidik

Terimakasih… Sangat membantu.. Contoh soalnya bervariasi, pembahasan soal terstruktur, penulisan teks terutama notasi angka dan rumus sangat rapih…

Terima kasih kembali telah singgah di blog ini 😀

terimakasih .barokallah

Alhamdulillah Jadi solusi banget

sangat membantu…terimakasih bank soalnya.

Sangat membantu sekali terima kasih bu/pak saya dapat belajar dan mengerti dengan pembelajaran matematika ini🙏

Bagus sekali

mantap sangat membantu bagi guru mata pelajaran

Sangat membantu sekali bagi saya sebagai guru matematika, mantap, maju terus, jaya terus demi kemajuan pendidikan di Indonesia

Terima kasih juga atas kunjungannya, Pak Sudirman. 🙏

Leave a Reply Cancel reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Advertisement

Contoh Soal PKN Kelas 10 Semester 1 Kurikulum Merdeka dan Jawabannya

Contoh Soal PKN Kelas 3 Semester 1 beserta Kunci Jawaban Lengkap

30 Contoh Soal Pecahan Campuran Matematika beserta Jawabannya

Contoh Soal Integral Parsial Matematika beserta Jawabannya Lengkap

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya, Yuk Kita Pelajari!

4 Contoh Soal Program Linear dan Jawabannya Kelas 11 Pilihan Ganda

Banyak contoh soal program linear yang dapat jadi bahan belajar. Beberapa contoh soal yang bisa kamu pelajari ada dalam artikel Mamikos ini.

4 Contoh Soal Program Linear dan Jawabannya Kelas 11 Pilihan Ganda — Program linear merupakan salah satu sub pelajaran dalam pelajaran matematika kelas 11.

Ada banyak sekali contoh soal program linear dan jawabannya kelas 11 yang bisa dijadikan alat pembelajaran.

Baik contoh soal program linear kelas 11 essay ataupun pilihan ganda, keduanya sangat mungkin masuk dalam kisi-kisi yang akan keluar dalam soal ujian kelas 11.

• Kumpulan Contoh Soal Program Linear dan Jawabannya Kelas 11

Daftar Isi [ hide ]

1. Program Linear Soal Cerita Penjumlahan Variabel

2. soal cerita mencari 3 nilai variabel.

• 3. Contoh Soal Mencari Nilai Harga
• 4. Contoh Soal Mencari Nilai Harga 2

Program linear ini memang cukup penting perannya pada mata pelajaran MTK kelas 11. Pasalnya akan ada banyak contoh soal program linear kelas 11 MTK yang keluar untuk bahan ujian.

Baik itu ujian harian, tengah semester, hingga akhir semester akan ada model soal program linear. Untuk mengasah skill pengerjaan soal program linear beragam variabel, berikut ini beberapa contohnya:

Nia adalah adik Dani. Nia berumur 6 tahun lebih muda dibanding umur Dani. Sedangkan umur Dani saat ini adalah 28 tahun lebih tua dari umur Nia.

Jika dijumlahkan, umur Nia, Dani, dan Rika adalah 119. Lantas berapakan jumlah umur Nia dan Rika?

Pilihan Jawaban:

Jawabannya adalah E

Pembahasan : Permisalan umur Dani adalah X, umur Nia Y, umur Rika adalah Z.

X = 28 + Y X = Z + 6 atau Z= X – 6 Diketahui X + Y + Z = 119

Operasi penjumlahan (1) 2X = Y + Z + 34 atau 2X – Y – Z= 34 Lalu lakukan Operasi penjumlahan (2) X + Y + Z = 119 2X – Y – Z = 34 + 3X = 153 X = 153 : 3 = 51

Lakukan Substitusi X X= 28 + Y Y= 51 – 28 Y= 23

Kemudian Z = X – 6 Z = 51 – 6 = 45

Maka diperoleh Jumlah umur Nia (Y) dan Rika (Z) adalah Y + Z = 23 + 45 = 68 (jawaban E)

Seorang penjual jajanan memiliki bahan x, y, dan z. Masing-masing jumlahnya ada 160 kg, 110 kg, dan 150 kg.

Untuk membuat jajan A, penjual ini membutuhkan 2 kg bahan x dan bahan y z masing-masing 1 kg.

Sedangkan untuk membuat jajanan B, penjual jajan ini butuh 1kg bahan x, 2 kg bahan y, dan 3 kg bahan z. Di pasar, jajan A dijual dengan harga Rp 30.000 dan jajan B dijual seharga Rp 50.000.

Pertanyaannya, penjual jajan ini bisa mendapatkan penjualan maksimum berapa dalam sehari?

A. Rp 3.900.000

B. Rp 8.000.000

C. Rp 4.500.000

D. Rp 2.900.000

E. Rp 3.100.000

Jawabannya adalah D Rp 2.900.000

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja Kost Dekat UNPAD Jatinangor Kost Dekat UNDIP Semarang Kost Dekat UI Depok Kost Dekat UB Malang Kost Dekat Unnes Semarang Kost Dekat UMY Jogja Kost Dekat UNY Jogja Kost Dekat UNS Solo Kost Dekat ITB Bandung Kost Dekat UMS Solo Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta

Zenius Fellow

• UTBK-SBMPTN

Pengertian Program Linear Beserta Grafik dan Contoh Soalnya

• Posted by by Maulia Indriana Ghani
• Mei 11, 2022

Secara nggak sadar, elo sering mengaplikasikan program linear dalam kehidupan sehari-hari. Seperti saat meminum obat sesuai dosis yang diberikan dokter, penggunaan lahan parkir, dan menghitung stok barang dagangan supaya nggak rugi.

Elo pernah menemukan suatu momen di mana elo harus menentukan batas maksimum dan minimum, nggak? Misalnya, elo lagi sakit, terus disuruh minum obat sama dokter. Obat yang harus elo minum itu dosisnya 3x sehari. Artinya, elo harus minum obat itu nggak boleh lebih atau kurang dari 3x sehari.

Contoh lainnya ketika orang tua elo membuka warung di rumah. Yang namanya orang jualan, pasti ingin mendapatkan keuntungan, kan? Begitu pun dengan orang tua elo.

Misalnya, orang tua elo lagi ngitung stok dagangan di warung. Ada suatu produk bumbu dapur dengan merek A yang dibeli dengan harga Rp6.000 dan dijual dengan laba Rp400 per bungkus, sedangkan merek B dibeli dengan harga Rp3.000 dan dijual dengan laba Rp300 per bungkus.

Kira-kira, berapa banyak bumbu dapur merek A dan B yang harus dibeli orang tua elo, jika modal yang dimiliki hanya Rp240.000 dan warung elo hanya bisa menampung maksimal 500 bungkus bumbu dapur? Tentukan juga keuntungan maksimum yang akan orang tua elo dapatkan!

Kebayang nggak, gimana cara menyelesaikan kasus tersebut?

Nah, kasus-kasus seperti itu ternyata bisa diselesaikan dengan menggunakan program linear, lho. Di sini, elo akan mempelajari materi program linear kelas 11.

Namun, sebelum ke situ, elo perlu paham dulu mengenai persamaan dan pertidaksamaan linear. Jadi, sekarang gue bahas dulu secara singkat mengenai persamaan dan pertidaksamaan linear, ya.

Persamaan Linear

Elo masih ingat nggak, bentuk persamaan linear itu seperti apa? Gini, ya.

ax + by + c = 0

Ingat, yang namanya persamaan linear, hasilnya sudah pasti garis lurus! Jadi, kita hanya perlu mengecek minimal dua titik pada suatu persamaan. Selain itu, elo juga bisa mengecek gradien pada garis lurus tersebut.

Kalau bentuk persamaan linearnya y = mx + c, cara menentukan nilai gradien atau kemiringan garisnya nggak sulit. Karena, nilai m itulah gradiennya. Jadi, m = gradien.

Kalau bentuknya A (x 1 , y 1 ) dan B (x 2 , y 2 ), maka gradiennya bisa elo cari menggunakan persamaan berikut ini.

Kalau elo bertanya-tanya, persamaan tersebut diperoleh dari mana? Kok, bisa jadi seperti itu? Elo bisa cek penjelasannya di sini , ya!

Contoh Soal Menentukan Gradien Garis dari Persamaan y = mx + c

Supaya makin paham sama uraian di atas, kita langsung meluncur ke contoh soalnya, ya. Nih, gue punya soal tentang mencari gradien garis dari suatu persamaan linear.

Gradien garis untuk ½ y = 2x – 4 adalah ….

Gimana cara menyelesaikan permasalahan di atas? Elo nggak perlu bingung, coba ingat lagi bentuk y = mx + c, di mana nilai m mewakili gradien garis pada suatu persamaan linear. Artinya, kita perlu ubah dulu nilai ½ y = 2x – 4 menjadi bentuk y = mx + c.

½ y = 2x – 4

y = 2(2x – 4)

y = 4x – 8

Nah, sekarang kita sudah menemukan nilai m , yaitu 4. Sehingga, gradien garis dari persamaan linear ½ y = 2x – 4 adalah 4.

Selanjutnya, kalau yang diketahui titik-titiknya saja, gimana cara elo menentukan nilai gradiennya?

Contoh Soal Menentukan Gradien Garis dari A (x 1 , y 1 ) dan B (x 2 , y 2 )

Misalnya gini, ada suatu garis yang melalui titik A (2, 4) dan B (1, 5). Elo diminta untuk menentukan gradien dari garis yang melalui kedua titik tersebut.

Gimana caranya? Kita uraikan nilai x dan y pada masing-masing titik, ya.

A (2,4) → nilai x 1 = 2 dan y 1 = 4.

B (1, 5) → nilai x 2 = 1 dan y 2 = 5.

Kalau sudah diperoleh nilai x dan y pada setiap titik, selanjutnya elo masukkan angkanya ke rumus gradien.

Jadi, gradien garis yang melalui titik A (2, 4) dan B (1, 5) adalah -1.

Lalu, gimana caranya kalau elo diminta untuk menentukan persamaan linear dari titik A (2, 4) dan B (1, 5)? Kebayang nggak, gimana langkah penyelesaiannya?

Oke, elo sudah paham sampai tahap mencai gradien garis. Selanjutnya, elo tentukan persamaan linearnya menjadi bentuk ini.

y – y 1 = m (x – x 1 )

Langsung saja masukkan angka-angkanya ke bentuk persamaan di atas!

y – 4 = -1 (x – 2)

y – 4 = -1x + 2

Nah, itu dia bentuk persamaan linear dari suatu garis yang melalui titik A (2, 4) dan B (1, 5) dengan diameter -1. Paham ya sampai sini?

Baca Juga : Persamaan Linear Dua Variabel – Metode Eliminasi dan Substitusi

Selanjutnya, program linear juga nggak lepas dari pertidaksamaan linear. Jadi, elo perlu memahami materi yang satu ini juga, ya!

Pertidaksamaan Linear

Kalau suatu persamaan menggunakan notasi sama dengan (=), maka pertidaksamaan nggak menggunakan sama dengan. Lalu, pertidaksamaan pakainya notasi apa, dong ?

Pertidaksamaan menggunakan notasi kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari atau sama dengan (≤), dan lebih dari atau sama dengan (≥). Jadi, kalau digambarkan dalam bentuk grafik, maka pertidaksamaan linear akan membentuk daerah di sebelah kanan atau kiri garis. Gimana gimana? Oke, gue uraikan pelan-pelan, ya.

Misalnya, elo diminta untuk menghitung daerah pertidaksamaan dari x + y ≤ 3 dan x + 2y ≤ 4, dengan ketentuan x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Perhitungannya bisa elo perhatikan pada gambar di bawah ini.

Gimana, paham ya sampai sini? Elo bisa mempelajari lebih dalam tentang pertidaksamaan linear di bawah ini.

Baca Juga : Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Matematika Wajib Kelas 10

Pengertian Program Linear

Setelah mengulas kembali materi persamaan dan pertidaksamaan linear, sepertinya elo sudah mulai siap masuk ke pembahasan program linear, nih.

Contoh program linear dalam kehidupan sehari-hari sudah gue kasih di awal, yaitu tentang penentuan jumlah produk yang harus dibeli dan cara menentukan keuntungan maksimumnya. Intinya, program ini diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari yang menggunakan prinsip “terbesar/maksimum” atau “terkecil/minimum”.

Dengan kata lain, ada batasan-batasan maksimum dan minimum untuk dijadikan sebagai patokan.

Selain contoh di atas, prinsip-prinsip dari program tersebut juga bisa ditemukan pada proyek pembangunan perumahan, penggunaan tanah untuk lahan parkir, dan pemakaian obat sesuai anjuran dokter untuk pasiennya.

Gue ambil contoh pada penggunaan tanah untuk lahan parkir, ya. Misalnya gini, sebuah lahan parkir diperuntukkan bagi motor dan mobil. Diketahui luas tempat parkir tersebut 100 m 2 dan menampung maksimal 100 kendaraan. Luas parkir yang dibutuhkan 1 mobil adalah 8 m 2 dan untuk 1 motor membutuhkan 2 m 2 .

Nah, dari contoh kasus di atas, kita bisa buatkan pertidaksamaan yang menggambarkan kondisi di atas. Caranya, tentukan dulu luasnya, yaitu 8x + 2y ≤ 100 disederhanakan menjadi  4x + y ≤ 50.

Kemudian, tentukan jumlahnya, yaitu x + y ≤ 100. Karena kasus di atas melibatkan mobil dan motor pengguna parkir, maka kita harus menetapkan syarat positif, yaitu x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaan dari kasus di atas adalah x + y ≤ 100, 4x + y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0. Jelas ya, sampai sini?

Kalau elo lihat aplikasinya, kira-kira elo sudah bisa mendefinisikan pengertian program linear, belum?

Program linear adalah metode optimasi yang digunakan untuk menemukan nilai optimum dari suatu fungsi pada suatu daerah.

Program ini merupakan salah satu bagian dari matematika terapan yang terdiri dari persamaan dan pertidaksamaan linear. Itulah mengapa gue mengajak elo untuk mempelajari dan mengulas kembali materi persamaan dan pertidaksamaan linear.

Nah, penyelesaian permasalahan yang terkait program ini tuh dalam bentuk grafik pertidaksamaan linear. Jadi, ada yang namanya daerah tertutup (syarat maksimum fungsi objektif) dan daerah terbuka (syarat minimum fungsi objektif).

Untuk menyelesaikan kasus di atas, kita bahas di poin selanjutnya, ya.

Grafik Program Linear

Hal yang perlu elo perhatikan saat membuat grafik program linear adalah dengan menentukan fungsi tujuannya terlebih dahulu. Fungsi tujuan atau objektif bisa dinotasikan sebagai berikut.

f(x, y) = ax + by

Untuk mencari nilai optimum dari bentuk persamaan di atas, elo cari dulu nilai persamaan tersebut untuk setiap titik dari daerah penyelesaiannya. Lalu, bandingkan dengan nilai maksimum dan minimumnya.

Kita langsung masuk ke penyelesaian kasus di warung orang tua elo, ya. Perhatikan caranya di bawah ini.

Paham, kan sampai sini? Uraian di atas bisa elo pelajari menggunakan video belajar Zenius dengan klik banner di bawah ini.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasannya

Untuk menguji sejauh mana pemahaman elo mengenai materi program linear, gue ada beberapa contoh soal dan pembahasan yang bisa dijadikan sebagai referensi. Cekidot!

Contoh Soal 1

x + 2y ≤ 12

Jika fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 30x + 15y, maka tentukan nilai maksimumnya!

Jawab: 360 .

Pembahasan:

Dari persamaan 3x + y = 6, diperoleh:

• Jika x = 0, maka y = 6 atau (0,6).
• Jika y = 0, maka x = 2 atau (2,0).

Dari persamaan x + 2y = 12, diperoleh:

• Jika y = 0, maka x = 12 (12, 0).

Dari mana nilai x dan y di atas ditentukan? Caranya menggunakan metode eliminasi di bawah ini.

3x + y = 6             |x1|         3x + y = 6

x + 2y = 12           |x3|         3x + 6y = 36

                                      ______________ _

                                                    5y = 30

                                                      y = 6

Dari metode eliminasi di atas, maka x + 2y = 12 → x = 12 – 2y = 12 – (2.6) = 12 – 12 = 0 atau (0,6).

Begitu seterusnya hingga diperoleh titik-titik yang menjadi pembatas himpunan penyelesaiannya, yaitu (0,6), (2,0), dan (12,0).

• f(0,6) = 30(0) + 15(6) = 90.
• f(2,0) = 30(2) + 15(0) = 60.
• f(12,0) = 30(12) + 15(0) = 360.

Jadi, nilai maksimumnya adalah 360.

Contoh Soal 2

Dari contoh soal 1, diketahui:

Nilai maksimum dari pertidaksamaan linear tersebut adalah 360. Buatlah grafik daerah penyelesaian dari pertidaksamaan di atas!

Jawaban dan pembahasan:

Dari pembahasan pada contoh soal 1, kita sudah memperoleh titik-titik yang menjadi pembatas himpunan penyelesaiannya, yaitu (0,6), (2,0), dan (12,0).

Sekarang, kita coba dulu menghitung titik (0,0) pada persamaan 3x + y ≥ 6 → 3(0) + 0 ≥ 6 → 0 ≥ 6. Apakah 0 lebih besar dari 0? Salah, kan? Artinya, daerah penyelesaiannya ada di kanan garis atau bagian atas.

Kalau digambarkan dalam bentuk grafik, akan diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut.

Contoh Soal 3

Harga dua buah apel dan tiga buah jeruk nggak lebih dari dua puluh ribu rupiah. Misalkan kita namakan x untuk apel dan y untuk y, maka jika dituliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear akan menjadi ….

A. 2x + 3y = 20.000.

B. 3x + 2y > 20.000.

C. 2x + 3y ≥ 20.000.

D. 2x + 3y ≤ 20.000.

Coba elo kerjakan sendiri ya, kalau sudah, elo bisa share jawabannya di kolom komentar!

Gimana nih, sampai sini udah paham belum, tentang program linier? Buat yang lebih menyukai belajar dengan nonton video, elo bisa mengakses materi UTBK lainnya di video Zenius. Elo juga bisa mencoba melatih kemampuan dengan level soal yang mirip UTBK beneran di Try Out bareng Zenius .

Baca Juga : Persamaan Garis Lurus – Pengertian, Rumus, Sifat, dan Grafik

Referensi :

Modul Matematika — Kemdikbud (2019).

Leave a Comment

Tinggalkan balasan batalkan balasan.

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Simpan nama, email, dan situs web saya pada peramban ini untuk komentar saya berikutnya.

Berbagi dan Belajar

Contoh Soal dan Penyelesaian Program Linear

Dalam Matematika, terdapat suatu materi yaitu program linear yang berfokus pada mencari nilai maksimum dan minimum suatu barang atau jasa. Materi ini diajarkan kepada siswa-siswi tingkat SMA dan SMK, terutama pada pelajaran program linear untuk kelas 11. Pendekatan yang lebih mendalam menggunakan metode STEAM (Sains, Teknologi, Engineering, Arts, dan Matematika) tidak hanya memfasilitasi pemahaman materi secara teoritis, tetapi juga penerapannya dalam praktik.

Sebelum memasuki pembahasan program linear, pemahaman tentang persamaan linear menjadi hal yang penting. Lebih lanjut, persamaan linear merujuk pada suatu persamaan yang menghasilkan garis lurus. Formula umumnya adalah:

x = variabel

c = konstanta

m = gradien

ax + by + c = 0

Persamaan linear yang umumnya dikenal sebagai persamaan garis lurus mencakup perbandingan antara nilai koordinat pada sumbu X dan sumbu Y yang terletak sepanjang garis yang sama.

Pertidaksamaan Linear

Berbeda dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear tidak menggunakan tanda sama dengan (=) dalam persamaannya. Akan tetapi, dalam persamaan ini menggunakan tanda  kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari atau sama dengan (≤), dan lebih dari atau sama dengan (≥).

Lalu apa sebenarnya  program linear ?

Pengertian Program Linear

Program linear adalah suatu metode yang di gunakan untuk mencapai hasil optimal dari suatu model matematika yang di bangun dari hubungan-hubungan linear. Maka, ini merupakan kasus khusus dalam bidang pemrograman matematika atau optimisasi matematika. Lebih lanjut, dalam istilah sederhana, program linear dapat di anggap sebagai teknik optimisasi yang di terapkan pada fungsi objektif linear, di mana terdiri dari persamaan linear dan pertidaksamaan linear.

Program linear berbentuk model yang terdiri dari pertidaksamaan linear. Selanjutnya, ini merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang di hadapi dalam kehidupan sehari-hari. Maka, tujuan dari program linear adalah untuk menemukan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Sehingga, nilai optimum tersebut dapat berupa nilai maksimum atau minimum, dan di peroleh dari himpunan solusi yang memenuhi persoalan linear tersebut.

Ada beberapa karakteristik yang di miliki oleh program linear. Pertama, program ini mampu menangani masalah dengan kendala-kendala yang di ungkapkan dalam bentuk pertidaksamaan. selanjutnya yang kedua, program linear dapat menangani jumlah kendala yang besar. Terakhir, program linear terbatas pada fungsi objektif dan kendala yang berbentuk linear.

Bagian Program Linear

Program linear terdiri dari dua bagian: fungsi objektif atau fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi objektif merupakan fungsi yang nilainya akan di optimalkan, bisa bernilai maksimum atau bisa juga bernilai minimum, tergantung dari kasusnya.

Fungsi tujuan memiliki bentuk umum:

f(x, y) = px + qy. dengan p dan q adalah konstanta.

Sedangkan fungsi kendala merupakan batasan yang wajib dipenuhi oleh peubah dalam fungsi objektif.

Bentuk umum fungsi kendala:

ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m

cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o

Model Matematika Program Linear

Pentingnya model matematika dalam program linear sangat signifikan dalam menyelesaikan masalah-masalah sehari-hari. Ini disebabkan karena masalah-masalah tersebut perlu diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk notasi matematika sebelum dapat dipecahkan menggunakan program linear.

Setelah model di bentuk dengan benar, langkah selanjutnya adalah melakukan analisis sensitivitas pada program linear tersebut. Proses menuliskan permasalahan sehari-hari ke dalam model matematika dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut:

• Tulis ketentuan-ketentuan yang sudah ada ke dalam sebuah tabel.
• Buat permisalan, ini berlaku untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variabel x dan y.
• Buat sistem pertidaksamaan linear, didapatkan dari hal-hal yang diketahui.
• Tentukan fungsi objektif yang ingin dicapai.
• Selesaikan model matematika untuk mendapat nilai optimum dari fungsi objektif.

Penjelasan ini bisa lebih jelas usai menyimak  soal program linear  berikut ini.

Baca juga: Operasi Matriks Lengkap : Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Manfaat Matriks dalam Kehidupan Sehari-hari.

Berikut ini adalah beberapa  contoh soal program linear  yang kerap muncul dalam ujian sekolah maupun masuk perguruan tinggi:

Seorang penjual buah punya modal Rp1 juta untuk membeli apel dan pisang. Harga beli tiap kg apel adalah Rp4 ribu dan pisang Rp1,6 ribu. Maksimal, maka pedagang tersebut hanya bisa menampung 400 kg buah. Berapa jumlah apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan bisa maksimal?

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu membuat model matematika terlebih dahulu dari permasalahan tersebut.

apel = x = 4.000

pisang = y = 1.600

Kapasitas tempat = x + y ≤ 400 = 2x + 2y ≤ 800

Modal = 4000x + 1600 y ≤ 1.000.000 = 5x + 2y ≤ 1.250

Lebih lanjut, lakukan metode eliminasi pada dua persamaan yang sudah diketahui:

5x + 2y ≤ 1250

2x + 2y ≤ 800

Setelah diketahui x, maka bisa dicari nilai y:

300 + 2y ≤ 800

Dari penyelesaian tersebut, diketahui bahwa untuk keuntungan maksimal, pedagang buah tersebut harus membeli apel sebanyak 150kg dan pisang 250kg.

Penjahit pekaian punya kain sutera 16m, kain katun 15m, dan kain wool 11, dan akan membuat dua model pakaian. Model A butuh 2m sutera, 1m wool, dan 1m katun, sedangkan model B perlu 1m sutera, 2m wool, dan 3m katun. Keuntungan dari model A adalah Rp3 ribu per potong, sedangkan model B Rp5 ribu per pakaian. Berapa pakaian masing-masing model yang harus di buat agar keuntungan maksimal?

Selanjutnya untuk mencari jawaban, lebih dulu perlu menjadikan permasalahan ini menjadi model matematika. Maka, ini merupakan optimasi keuntungan, bisa di tulis:

f(x, y) = 3000x + 5000y

Sedangkan kendala dalam masalah ini, misal model A adalah x dan model B adalah y, dengan memperhatikan jumlah kain yang tersedia:

Sutera: 2x + y ≤ 16

Wool: x + 2y ≤ 11

Katun: x + 3y ≤ 15

Dari penggambaran garis-garis ini, di peroleh empat titik ekstrim, yaitu (8, 0), (7, 2), (3, 4), dan (0,5).

Lebih lanjut, bisa di lakukan uji coba kepada fungsi objektifnya untuk di ketahui mana yang menghasilkan keuntungan maksimal:

f(A) = f(8, 0) = 3.000(8) + 5.000(0) = 24.000

f(B) = f(7, 2) = 3.000(7) + 5.000(2) = 31.000

f(C) = f(3, 4) = 3.000(3) + 5.000(4) = 29.000

f(D) = f(0, 5) = 3.000(0) + 5.000(5) = 25.000

Jadi, dari penyelesaian tersebut di ketahui keuntungan maksimal adalah 31 ribu, didapat dari titik (7, 2). Lebih lanjut, keuntungan maksimum akan di dapat dengan membuat 7 baju model A dan 2 baju model B.

Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan  7 x + 5 y ≤ 35 , cukup kita lihat koefisien  y . Dengan koefisien  y  positif dan tanda ≤.

Lebih lanjut, daerah HP berada di bawah garis. Lebih lanjut, untuk daerah penyelesaian pertidaksamaan y ≥ 1  diarsir daerah HP berada di atas garis.

Selanjutnya, untuk daerah pertidaksamaan x ≥ 0  diarsir daerah HP berada di kanan garis.

Maka, daerah pada gambar yang mengambarkan irisan ketiganya adalah gambar (D)

Untuk melihat atau menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian  a x + b y ≤ c , maka dapat menggunakan uji titik atau dengan trik melihat koefisien y . maka, #Jika koefisien  y  positif dan tanda ≤ maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di bawah garis. Lebih lanjut, #Jika koefisien  y  positif dan tanda ≥  maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di atas garis.

Maka, batas-batas daerah yang memenuhi adalah:

I :   6 x + 4 y = 24   →   3 x + 2 y = 12

I I :   4 x + 8 y = 32   →   x + 2 y = 8

I I I :   y = 0 ; IV: x=0

Maka, untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Lebih lanjut, kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang di arsir pada gambar.

• Titik  ( 0 , 0 )  ke  3 x + 2 y = 12  di peroleh 0 ≤ 12 , maka pertidaksamaannya adalah  3 x + 2 y ≤ 12
• Titik  ( 0 , 0 )  ke  x + 2 y = 8  di peroleh 0 ≤ 8 , maka pertidaksamaannya adalah  x + 2 y ≤ 8
• Untuk batas  I I I  yang di arsir adalah daerah x ≥ 0
• Untuk batas  I V  yang di arsir adalah daerah y ≥ 0

Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Akhirnya, demikian Soal dan Penyelesaian Program Linear semoga bermanfaat.

Related Posts

Latihan Soal Barisan dan Deret HOTS : Fondasi Matematika untuk Kecerdasan Buatan dan Machine Learning

Latihan soal operasi perkalian matriks, tinggalkan balasan batalkan balasan.

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Simpan nama, email, dan situs web saya pada peramban ini untuk komentar saya berikutnya.

• Privacy Policy
• Saintif – Menjawab dengan Ilmu Pengetahuan
• Tentang Kami

Program Linear: Pengertian, Konsep, Grafik + Contoh Soal [LENGKAP]

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan linear.

Di dalam persoalann linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah ke dalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200gr bahan pertama dan 150gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180gr bahan pertama dan 170gr bahan kedua.

Persediaan di gudang bahan pertama 72kg dan bahan kedua 64kg. Harga model pertama adalah Rp.500.000,- dan model kedua Rp.400.00,0. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x,y=500.000 x + 400.000 y) . Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000gr, maka 200x + 180y ≤72.000
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000gr, maka 150x + 170y ≤64.000
• Masin-masing model harus terbuat

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x,y)=500.000 x + 400.000 y

200x + 180y ≤72.000 150x + 170y ≤64.000 x≥0 y≥0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian.

Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan ke dalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yan glainnya. Titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum
• Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua cara yaitu:
• Menggunakan garis selidik

Membandingkan nilai fungsii objektif tiap titik ekstrim

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x,y)= ax+by di mana garis selidiknya adalah ax+by=Z .

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunann penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal.

Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikan nilai fungsi optimum.

• Cara 1 (syarat a>0 )
• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
• Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

• Cara 2 (syarat b>0  )
• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum
• Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Untuk nilai a<0  dan b<0  berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari funngsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titik potong terserbut merupakan nilai ekstrim berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

• Tentukan nilai minimum f(x,y)=9x+y pada daerah yang dibatasi oleh 2≤x≤6 , dan 0≤y≤8 serta x+y≤7  

Pembahasan:

• Gambar grafiknya

• Menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim yaitu A, B, C, dan D. Himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir

• Menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y=0 , sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan ke dalam f(x,y)=9x+y  untuk dibandingkan

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

• Tentukan di mana nilai maksimum fungsi f(x,y)=4x+5y yang akan dicapai pada grafik ini!

Titik ekstrim pada gambar adalah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik palling kiri

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42

•  Pedagang buah memiliki moadl Rp.1.000.000,- untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp.4.000,- dan pisang Rp.1.600,-. Tempatnya hanya bisa menampung 400kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Dengan syarat

• Kapasitas tempat x+y≤400
• Modal 4000x+1600y≤1000000 atau 5x+2y≤1250

Titik ekstrim

• A(,400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250,0) bukan optimum karena tidak ada pisang
• B(x,y) dengan metode eliminasi 2 persamaan di atas diperoleh

Sehingga jumlah maksimum apel 150kg dan pisang 250kg

Terimakasih sudah membaca, semoga dapat membantu kamu untuk memahami program linear. Sampai jumpa di pembahasan yang lain.

Referensi: studiobelajar.com

Bagikan artikel ini:

• Click to share on Facebook (Opens in new window)
• Click to share on Twitter (Opens in new window)
• Click to share on WhatsApp (Opens in new window)

Arti Kata Bejibun – Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI)

Konversi Satuan (LENGKAP) Panjang, Berat, Luas, Waktu dan Volume + Aturan Penggunaanya

Siklus Krebs – Respirasi Sel, Tahapan, Hasil [Penjelasan Lengkap] + Gambar

Bank Soal UN Matematika SMA Program Linear

Matematikastudycenter- Kumpulan soal ujian nasional matematika SMA materi program linearr dari tahun 2007 hingga 2011, 2012, dan 2013 tercakup indikator menyelesaikan masalah program linear.

Materi / SKL / Kisi-kisi Ujian : Program Linear 1) UN Matematika Tahun 2007 Paket 12 Luas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah…. A. Rp 176.000,00 B. Rp 200.000,00 C. Rp 260.000,00 D. Rp 300.000,00 E. Rp 340.000,00

3) UN Matematika Tahun 2008 P12 Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram terpung. Jika kue A dijual dengan harga Rp4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah… A. Rp600.000,00 B. Rp650.000,00 C. Rp700.000,00 D. Rp750.000,00 E. Rp800.000,00

4) UN Matematika Tahun 2009 P12 Menjelang hari raya Idul Adha. Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tangah berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud adalah… A. 11 sapi dan 4 kerbau B. 4 sapi dan 11 kerbau C. 13 sapi dan 2 kerbau D. 0 sapi dan 15 kerbau E. 7 sapi dan 8 kerbau

5) UN Matematika Tahun 2010 P37 Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat? A. 6 jenis I B. 12 jenis II C. 6 jenis I dan 6 jenis II D. 3 jenis I dan 9 jenis II E. 9 jenis I dan 3 jenis II

6) UN Matematika Tahun 2011 Paket 12 Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah….. A. Rp149.000,00 B. Rp249.000,00 C. Rp391.000,00 D. Rp609.000,00 E. Rp757.000,00

7) UN Matematika IPA 2012 Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah… A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C. Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00 E. Rp8.400.000,00

8) UN Matematika Tahun 2013 Luas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah…. A. Rp176.000,00 B. Rp200.000,00 C. Rp260.000,00 D. Rp300.000,00 E. Rp340.000,00

Copyright © 2024 | WordPress Theme by MH Themes

Program Linear

Contoh soal.

Konsep penting Program Linier

Pertidaksamaan linear dua variabel, fungsi kendala, fungsi tujuan, menentukan nilai optimum dengan garis selidik (nilai maksimum atau nilai minimum).

Iklan Bawah Header

Soal dan pembahasan program linear metode grafik.

• Metode Grafik, dan
• Metode Simplek

• 120.000x  + 75.000y
• 3x + 2y  ≤  60
•  x  + 2y  ≤  40
• x, y ≥ 0

• x = sepatu merk A
• y = sepatu merk B

• 300.000x + 500.000y
• 2x  ≤  8
• 3y  ≤  15
• 6x + 5y  ≤  30
• x, y  ≥  0

• x = tanaman padi
• y = tanamann jagung

• 500.000x + 600.000y
• x + y  ≤  8
• 3x + 4y   ≥  30

• 1 unit  m 1  mengandung 2 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan 1 unit  m 2  mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B. Keperluan sehari-hari akan vitamin A paling sedikit 40 unit dan vitamin B 50 unit.
• Tujuan kita adalah menentukan jumlah optimal makanan  m 1  dan  m 2 , sehingga keperluan vitamin A dan B seharinya terpenuhi dengan biaya serendah mungkin. Biaya per unit makanan  m 1  dan  m 2  sama dengan Rp. 3.000 dan Rp. 2.500. Berapakah biaya yang diperlukan untuk itu?
• x = jenis makanan m 1
• y = jenis makanan m 2

• 3.000x + 2.500y
• 2x + 4y  ≥  40
• 3x + 2y  ≥  50
• x, y  ≤  0

Share this post

0 Response to "Soal dan Pembahasan Program Linear Metode Grafik"

Post a comment, iklan atas artikel, iklan tengah artikel 1, iklan tengah artikel 2, iklan bawah artikel.

Contoh Soal Program Linear – Model Matematika dan Pembahasannya

Program Linear (PL) adalah salah satu cabang penting dalam ilmu optimasi matematis yang digunakan untuk memecahkan berbagai masalah yang melibatkan pengalokasian sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan tertentu. Teknik ini telah membuktikan kegunaannya dalam berbagai bidang, termasuk ekonomi, teknik industri, ilmu komputer, dan manajemen rantai pasokan. Artikel ini akan membahas konsep dasar, formulasi masalah, metode pemecahan, serta penerapan Program Linear dalam berbagai konteks.

Pengertian Program Linear

Program Linear (PL) adalah metode matematis yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi di mana tujuan utama adalah mencari solusi terbaik dari suatu fungsi linier dengan mematuhi sejumlah batasan linier. Dalam konsep Program Linear, terdapat variabel-variabel keputusan yang harus diatur sedemikian rupa agar tujuan tertentu dapat dicapai dengan efisien.

Dalam masalah Program Linear, terdapat tiga elemen penting yang harus diperhatikan:

• Fungsi Objektif : Ini adalah fungsi matematis linier yang harus dioptimalkan, baik dengan memaksimalkan atau meminimalkan nilainya. Fungsi objektif ini merepresentasikan tujuan dari masalah yang ingin dipecahkan. Contoh tujuan bisa berupa meminimalkan biaya produksi atau memaksimalkan keuntungan.
• Variabel Keputusan : Ini adalah variabel-variabel yang nilainya harus ditentukan untuk mencapai solusi optimal. Variabel-variabel ini terlibat dalam fungsi objektif dan batasan-batasan yang ada. Contoh variabel keputusan bisa berupa jumlah produk yang harus diproduksi atau jumlah bahan yang harus dibeli.
• Batasan : Batasan-batasan linier mengatur sejumlah kendala atau pembatasan yang harus dipatuhi dalam mencari solusi optimal. Pembatasan ini bisa berupa ketersediaan sumber daya, kapasitas produksi, anggaran terbatas, atau pembatasan lain yang relevan dengan masalah yang dihadapi.

Dalam formulasi masalah Program Linear, langkah-langkah utama meliputi:

• Merumuskan fungsi objektif dan variabel-variabel keputusan.
• Menetapkan batasan-batasan linier yang relevan dengan masalah.
• Menentukan apakah tujuan adalah memaksimalkan atau meminimalkan fungsi objektif.
• Menemukan nilai-nilai variabel keputusan yang memenuhi semua batasan dan meminimalkan atau memaksimalkan fungsi objektif.

Metode pemecahan masalah Program Linear termasuk teknik-teknik seperti metode grafis (untuk kasus sederhana dengan dua variabel), metode simpleks (algoritma yang umum digunakan untuk masalah dengan lebih dari dua variabel), dan metode pemecahan interior (pendekatan matematis untuk menemukan solusi optimal).

Program Linear memiliki aplikasi luas dalam berbagai industri dan bidang, seperti ekonomi, manufaktur, logistik, telekomunikasi, ilmu komputer, dan banyak lagi. Dengan memanfaatkan konsep dasar Program Linear, organisasi dan individu dapat mengambil keputusan yang lebih baik dan efisien dalam pengelolaan sumber daya dan perencanaan strategis.

Model Matematika Program Linear

Model matematika Program Linear adalah representasi formal dari masalah optimasi yang ingin dipecahkan menggunakan metode Program Linear. Model ini terdiri dari fungsi objektif, variabel-variabel keputusan, dan batasan-batasan yang menggambarkan karakteristik masalah tersebut secara matematis. Dengan merumuskan masalah dalam bentuk model matematika, kita dapat menggunakan algoritma-algoritma optimasi untuk mencari solusi terbaik secara efisien.

Berikut adalah komponen utama dalam model matematika Program Linear:

• Fungsi Objektif : Representasi matematis dari tujuan yang ingin dicapai. Fungsi objektif ini bisa berupa fungsi linier yang harus di maksimalkan atau di minimalkan. Simbol umum untuk fungsi objektif adalah “Z” dalam notasi matematika.Contoh: Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙDi mana c₁, c₂, …, cₙ adalah koefisien dari variabel-variabel keputusan x₁, x₂, …, xₙ.
• Variabel Keputusan : Variabel-variabel yang nilainya harus diatur untuk mencapai tujuan yang diinginkan. Variabel-variabel ini memiliki nilai numerik yang perlu dicari dalam proses optimasi.Contoh: x₁, x₂, …, xₙ
• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂
• aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + … + aₘₙxₙ ≤ bₘ
• Non-Negativitas : Variabel-variabel keputusan biasanya tidak dapat memiliki nilai negatif dalam Program Linear. Ini karena kita tidak bisa memiliki jumlah negatif dari suatu barang atau sumber daya.Contoh: x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, …, xₙ ≥ 0

Dengan menggabungkan fungsi objektif, variabel keputusan, batasan, dan ketentuan non-negativitas, kita dapat merumuskan model matematika Program Linear secara lengkap. Tujuan dari model ini adalah untuk menemukan nilai-nilai variabel keputusan yang memenuhi semua batasan dan mengoptimalkan nilai fungsi objektif.

Penerapan model matematika Program Linear sangat luas, mencakup berbagai bidang seperti ekonomi, manufaktur, logistik, perencanaan sumber daya, dan banyak lagi. Dengan merumuskan masalah dalam bentuk matematis, kita dapat menggunakan alat dan teknik matematika untuk mencari solusi yang paling efisien dan optimal.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1 : Seorang peternak memiliki 300 kg pakan ternak dan 240 liter air. Ia memiliki dua jenis pakan A dan B. Setiap kg pakan A memerlukan 2 liter air, sedangkan setiap kg pakan B memerlukan 3 liter air. Pakan A menghasilkan keuntungan 1500 rupiah/kg, sementara pakan B menghasilkan 2000 rupiah/kg. Tentukan jumlah pakan A dan pakan B yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan.

Pembahasan 1: Mari kita tentukan variabel keputusan:

• x₁ = jumlah kg pakan A
• x₂ = jumlah kg pakan B

Fungsi objektif (keuntungan) yang ingin dimaksimalkan adalah: Z = 1500x₁ + 2000x₂

Batasan-batasan yang harus dipatuhi adalah: 2x₁ + 3x₂ ≤ 240 (batasan air) x₁ + x₂ ≤ 300 (batasan pakan)

Karena kita tidak bisa memiliki jumlah pakan atau air negatif, maka: x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0

Maka, masalah Program Linear dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan Z = 1500x₁ + 2000x₂ Dengan batasan: 2x₁ + 3x₂ ≤ 240 x₁ + x₂ ≤ 300 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Solusi optimal dapat ditemukan dengan menggunakan metode Simpleks atau algoritma optimasi lainnya.

Contoh Soal 2: Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu baju dan celana. Untuk membuat satu baju, ia memerlukan 2 meter kain dan 3 jam waktu. Untuk membuat satu celana, ia memerlukan 1 meter kain dan 2 jam waktu. Penjahit memiliki 120 meter kain dan 90 jam waktu. Ia memperoleh keuntungan 100 ribu rupiah dari setiap baju dan 80 ribu rupiah dari setiap celana. Tentukan jumlah baju dan celana yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan.

Pembahasan 2: Mari kita tentukan variabel keputusan:

• x₁ = jumlah baju
• x₂ = jumlah celana

Fungsi objektif (keuntungan) yang ingin dimaksimalkan adalah: Z = 100x₁ + 80x₂

Batasan-batasan yang harus dipatuhi adalah: 2x₁ + x₂ ≤ 120 (batasan kain) 3x₁ + 2x₂ ≤ 90 (batasan waktu)

Karena kita tidak bisa memiliki jumlah pakaian negatif, maka: x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0

Maka, masalah Program Linear dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan Z = 100x₁ + 80x₂ Dengan batasan: 2x₁ + x₂ ≤ 120 3x₁ + 2x₂ ≤ 90 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Contoh Soal 3: Seorang petani ingin menanam dua jenis tanaman, yaitu padi dan jagung, di lapangan seluas 10 hektar. Dia ingin menanam padi minimal 4 hektar dan jagung minimal 2 hektar. Setiap hektar padi memerlukan biaya 2 juta rupiah dan menghasilkan keuntungan 8 juta rupiah. Setiap hektar jagung memerlukan biaya 1 juta rupiah dan menghasilkan keuntungan 5 juta rupiah. Tentukan luas tanaman padi dan jagung untuk memaksimalkan keuntungan.

Pembahasan 3: Mari kita tentukan variabel keputusan:

• x₁ = luas tanaman padi (dalam hektar)
• x₂ = luas tanaman jagung (dalam hektar)

Fungsi objektif (keuntungan) yang ingin dimaksimalkan adalah: Z = 8x₁ + 5x₂

Batasan-batasan yang harus dipatuhi adalah: x₁ + x₂ ≤ 10 (batasan luas lapangan) x₁ ≥ 4 (batasan minimal padi) x₂ ≥ 2 (batasan minimal jagung)

Karena kita tidak bisa memiliki luas tanaman negatif, maka: x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0

Maka, masalah Program Linear dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan Z = 8x₁ + 5x₂ Dengan batasan: x₁ + x₂ ≤ 10 x₁ ≥ 4 x₂ ≥ 2 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Contoh Soal 4: Seorang pengusaha ingin memproduksi dua jenis produk, A dan B. Produksi satu unit produk A memerlukan 2 jam tenaga kerja dan 1 unit bahan baku. Produksi satu unit produk B memerlukan 3 jam tenaga kerja dan 2 unit bahan baku. Tersedia 100 jam tenaga kerja dan 60 unit bahan baku. Keuntungan dari produk A adalah 500 ribu rupiah per unit dan produk B adalah 800 ribu rupiah per unit. Tentukan jumlah produk A dan B yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan.

Pembahasan 4: Mari kita tentukan variabel keputusan:

• x₁ = jumlah produk A
• x₂ = jumlah produk B

Fungsi objektif (keuntungan) yang ingin dimaksimalkan adalah: Z = 500x₁ + 800x₂

Batasan-batasan yang harus dipatuhi adalah: 2x₁ + 3x₂ ≤ 100 (batasan tenaga kerja) x₁ + 2x₂ ≤ 60 (batasan bahan baku)

Karena kita tidak bisa memiliki jumlah produk negatif, maka: x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0

Maka, masalah Program Linear dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan Z = 500x₁ + 800x₂ Dengan batasan: 2x₁ + 3x₂ ≤ 100 x₁ + 2x₂ ≤ 60 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Contoh Soal 5: Seorang perusahaan ingin memproduksi dua jenis produk, X dan Y. Setiap unit produk X memerlukan 3 jam tenaga kerja dan 2 unit bahan baku, sedangkan setiap unit produk Y memerlukan 4 jam tenaga kerja dan 3 unit bahan baku. Tersedia 240 jam tenaga kerja dan 150 unit bahan baku. Keuntungan dari produk X adalah 700 ribu rupiah per unit dan produk Y adalah 900 ribu rupiah per unit. Tentukan jumlah produk X dan Y yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan.

Pembahasan 5: Mari kita tentukan variabel keputusan:

• x₁ = jumlah produk X
• x₂ = jumlah produk Y

Fungsi objektif (keuntungan) yang ingin dimaksimalkan adalah: Z = 700x₁ + 900x₂

Batasan-batasan yang harus dipatuhi adalah: 3x₁ + 4x₂ ≤ 240 (batasan tenaga kerja) 2x₁ + 3x₂ ≤ 150 (batasan bahan baku)

Maka, masalah Program Linear dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan Z = 700x₁ + 900x₂ Dengan batasan: 3x₁ + 4x₂ ≤ 240 2x₁ + 3x₂ ≤ 150 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Penting untuk diingat bahwa dalam praktiknya, solusi optimal dapat dicapai dengan menggunakan perangkat lunak komputer yang dirancang khusus untuk memecahkan masalah Program Linear.

Demikianlah materi pembahasan kali ini mengenai Contoh Soal program linear, semoga artikel ini memberi manfaat bagi sobat semua.

Contoh Soal Program Linear: Solusi Matematika untuk Optimasi

Bagikan Artikel:

Apa itu Program Linear?

Salam, Sobat Gonel! Dalam dunia matematika, program linear (atau linear programming) adalah metode untuk mencari solusi optimal dari permasalahan yang melibatkan hubungan linier antara variabel. Tujuannya adalah untuk menemukan skenario terbaik dari sumber daya yang terbatas untuk mencapai hasil tertentu.

Contoh paling umum program linear adalah persoalan optimasi di bidang bisnis dan manufaktur. Misalnya, bagaimana perusahaan dapat membuat produk dengan biaya produksi minimal sambil memaksimalkan keuntungan. Program linear juga digunakan di bidang transportasi, logistik, rantai pasokan, keuangan, dan banyak lagi.

Cara Membuat Model Program Linear

Untuk membuat model program linear, terlebih dahulu kita perlu mengidentifikasi masalah yang ingin dipecahkan, seperti halnya seperti pada persoalan optimasi di bisnis dan manufaktur. Setelah itu, langkah selanjutnya adalah:

• Membuat daftar variabel yang terlibat dalam permasalahan, serta menentukan batas atas dan bawahnya.
• Membuat fungsi tujuan, yaitu rumusan matematika yang menjelaskan hasil yang ingin dicapai.
• Membuat batasan terkait hubungan linear antara variabel, seperti kesetaraan dan ketidaksamaan.
• Menyelesaikan model dengan teknik yang diperlukan, seperti Simpleks Method atau Algoritma Branch-and-Bound.

Pada langkah terakhir, kita akan mendapatkan solusi yang paling optimal untuk permasalahan yang dihadapi.

Contoh Soal Program Linear dalam Bisnis

Bagaimana contoh soal program linear dapat diterapkan dalam bisnis? Mari kita ambil contoh perusahaan manufaktur yang ingin memproduksi dua jenis produk, A dan B, dengan mempertimbangkan biaya dan keuntungan.

Variabel yang terlibat, yaitu jumlah unit yang diproduksi dari masing-masing produk, bisa direpresentasikan sebagai x 1 dan x 2 . Fungsi tujuan, yaitu keuntungan yang ingin dicapai, dapat dirumuskan sebagai:

Keuntungan total dapat dirumuskan sebagai:

z = 500.000x 1 + 500.000x 2

Batasan variabel adalah:

x 1 ≥ 0 dan x 2 ≥ 0

Batasan produksi juga harus diperhatikan. Misalnya, perusahaan hanya bisa memproduksi maksimal 1.000 unit dari produk A dan 800 unit dari produk B. Batasan tersebut dapat dirumuskan sebagai:

x 1 ≤ 1.000 dan x 2 ≤ 800

Selain itu, perusahaan juga memiliki anggaran produksi sebesar Rp 3.000.000. Batasan tersebut dapat dirumuskan sebagai:

1.000.000x 1 + 2.000.000x 2 ≤ 3.000.000

Dari model program linear yang dibangun, kita dapat menyelesaikan dengan menggunakan teknik Simplex Method atau Algoritma Branch-and-Bound untuk mencari solusi yang paling optimal. Solusi yang dihasilkan akan memberikan informasi berapa banyak unit yang harus diproduksi dari masing-masing produk agar perusahaan dapat memaksimalkan keuntungan.

Cara Menyelesaikan Program Linear dengan Simplex Method

Simplex method adalah salah satu teknik yang paling populer digunakan untuk menyelesaikan program linear. Pendekatan ini bekerja dengan mencari solusi optimal dalam bentuk titik terluar di antara segala konstrain yang diberikan, hingga ditemukan solusi optimal terbaik.

Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan program linear dengan Simplex Method:

• Masukkan persamaan program linear ke dalam bentuk standar, yaitu dengan subject to constraints (STC) atau equalities.
• Tentukan solusi pra-kondisi dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan ataupun lainnya.
• Pilih variabel acak atau slack yang akan digunakan untuk memberikan nilai 0 pada persamaan.
• Gunakan aturan pivot untuk menentukan persamaan mana yang akan menjadi sumber pivot untuk setiap iterasi.
• Lakukan iterasi hingga ditemukan solusi optimal.

Kelebihan dan Kekurangan Program Linear

Kelebihan program linear.

Program linear memiliki sejumlah kelebihan yang membuatnya menjadi pilihan populer dalam menyelesaikan permasalahan optimasi. Berikut adalah beberapa di antaranya:

• Memberikan solusi optimal, dengan cara yang cepat dan efisien.
• Membutuhkan data yang mudah diakses dan dimanipulasi.
• Mampu menangani masalah yang kompleks, seperti yang terdapat pada bisnis dan industri.
• Dapat menghasilkan solusi alternatif yang memungkinkan keputusan yang lebih baik di masa depan.

Kekurangan Program Linear

Namun, program linear juga memiliki beberapa kekurangan yang perlu diperhatikan. Beberapa di antaranya adalah sebagai berikut:

• Mengasumsikan bahwa hubungan antar variabel bersifat linear, yang mungkin tidak selalu akurat dalam dunia nyata.
• Mengabaikan faktor-faktor tertentu yang tidak dapat dimodelkan secara linier, seperti bias, ketidakpastian, dan variabilitas.
• Membutuhkan keterampilan dan pengetahuan matematika yang lebih tinggi untuk memahami dan menerapkan metode ini.
• Ketergantungan pada data yang akurat dan terus-menerus diperbarui untuk memastikan hasilnya valid.

FAQ Tentang Program Linear

1. apa itu program linear dan kapan harus digunakan.

Program linear adalah metode matematika untuk mencari solusi optimal dari masalah optimasi yang melibatkan hubungan linier antara variabel. Ia dapat digunakan dalam banyak bidang, termasuk bisnis, industri, logistik, keuangan, dan lain-lain.

2. Bagaimana model program linear dibangun dalam bisnis?

Untuk membangun model program linear dalam bisnis, kita perlu mengidentifikasi masalah yang ingin dipecahkan, membuat daftar variabel, fungsi tujuan, dan batasan hubungan antara variabel.

3. Apa perbedaan antara program linear dan non-linear?

Program linear mengasumsikan bahwa hubungan antara variabel bersifat linier, sementara program non-linear mengasumsikan hubungan yang lebih kompleks dan tidak linier.

4. Apa keuntungan menggunakan program linear dalam bisnis?

Program linear dapat membantu bisnis mencapai tujuan mereka dengan cara yang terbaik dan paling efisien. Hal ini dapat menghemat waktu, biaya, dan sumber daya, serta meningkatkan profitabilitas dan efektivitas operasional.

5. Apa kelemahan dari program linear?

Program linear mengabaikan faktor-faktor tertentu seperti bias, ketidakpastian, dan variabilitas. Selain itu, ia juga membutuhkan data yang akurat dan terus-menerus diperbarui untuk menghasilkan hasil yang valid.

6. Bagaimana program linear membantu dalam optimasi produksi dan manufaktur?

Program linear dapat membantu perusahaan untuk mencari tahu skenario terbaik dari sumber daya yang terbatas untuk mencapai hasil tertentu, seperti memproduksi produk dengan biaya produksi minimal sambil memaksimalkan keuntungan.

7. Apa teknik yang digunakan dalam menyelesaikan program linear?

Ada beberapa teknik yang dapat digunakan dalam menyelesaikan program linear, seperti Simplex Method, Algoritma Branch-and-Bound, dan banyak lagi.

8. Apa cara terbaik untuk memulai belajar program linear?

Untuk memulai belajar program linear, kita dapat mengikuti kursus atau seminar online, membaca buku-buku dan artikel yang berkaitan, atau mempraktikkan dengan menggunakan software atau aplikasi yang tersedia.

9. Apa peran program linear dalam sistem transportasi dan logistik?

Program linear dapat membantu dalam mempercepat rute pengiriman, menentukan jumlah stok, menentukan kapasitas transportasi, dan banyak lagi. Ia dapat memungkinkan perusahaan untuk menghemat biaya dan meningkatkan efisiensi operasional.

10. Apa dampak dari ketidaktelitian data dalam program linear?

Jika data tidak cukup akurat atau tidak terus-menerus diperbarui, hal ini dapat mempengaruhi kualitas hasil yang dihasilkan. Oleh karena itu, sangat penting untuk memperhatikan kualitas data yang digunakan dalam program linear.

11. Mengapa program linear penting dalam pengambilan keputusan bisnis?

Program linear dapat membantu perusahaan mengoptimalkan sumber daya mereka dan mencapai tujuan bisnis mereka dengan cara yang terbaik dan paling efisien. Oleh karena itu, ia memainkan peran penting dalam pengambilan keputusan bisnis.

12. Bagaimana program linear diaplikasikan dalam bidang keuangan dan investasi?

Program linear dapat membantu dalam menentukan portofolio investasi yang optimal, menentukan rute investasi terbaik, dan banyak lagi. Ia dapat membantu untuk meningkatkan profitabilitas dan menurunkan risiko investasi.

13. Apa saja software atau aplikasi yang dapat digunakan untuk program linear?

Beberapa software atau aplikasi yang dapat digunakan untuk program linear antara lain MATLAB, Excel Solver, Gurobi, R, dan Python.

Dalam era digital dan persaingan bisnis yang semakin ketat, program linear menjadi alat yang dapat membantu perusahaan untuk mengoptimalkan sumber daya mereka dan mencapai tujuan bisnis mereka secara efektif dan efisien.

Terlepas dari kekurangan yang dimilikinya, program linear tetap menjadi metode yang populer dalam menyelesaikan masalah optimasi di berbagai bidang.

Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana program linear dibangun, bagaimana cara menyelesaikan dengan teknik Simplex Method, kelebihan dan kekurangannya, serta beberapa contoh dan aplikasi di bidang bisnis dan industri. Semoga dapat menjadi pencerahan bagi Sobat Gonel dalam memahami konsep dan mengimplementasikan program linear dalam kehidupan nyata.

Kata Penutup

Program linear tidak hanya memainkan peran penting dalam matematika dan ilmu pengetahuan, tetapi juga memiliki dampak signifikan pada dunia bisnis dan industri. Dengan memahami prinsip dasar dan cara kerjanya, Sobat Gonel dapat mengambil manfaat dari program linear dan memaksimalkan hasil yang diinginkan.

Artikel ini hanya bersifat informatif dan tidak dimaksudkan sebagai saran atau rekomendasi investasi. Semua keputusan yang berkaitan dengan investasi harus didasarkan pada pemahaman dan evaluasi yang tepat atas risiko dan kemampuan keuangan masing-masing individu atau perusahaan.

Tukang Share Informasi

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Simpan nama dan email saya di browser ini untuk komentar saya berikutnya.

• Jelajahi Artikel
• Privacy Policy

Copyright © 2024 Gonel.id . All Right Reserved

Apa yang sedang Anda cari?

Temukan beberapa kata kunci yang di inginkan.

Video Contoh Soal Program Linear Kelas 10

Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir p...

• Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel
• Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
• Program Linear

Perhatikan gambar berikut! Daerah yang menunjukkan himpun...

Anis akan membeli mangga dan apel. Jumlah buah yang dibel...

• Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup ditempati...

Tentukan sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian (...

Pada gambar berikut, yang merupakan himpunan penyelesaian...

Diketahui x dan y merupakan penyelesaian dari sistem pert...

• Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

PErhatikan gambar di bawha . D(3,8) A(2,4) C(6,2) (B(4,2)...

Tentukan daerah penyelesaian 4x+3y<=12; 3x+5y<=15; x>=0, ...

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x...

Ngerti materi dengan Tanya

Cari soal Matematika, Fisika, Kimia dan tonton video pembahasan biar ngerti materinya.

• Matematika, Fisika dan Kimia
• SD (Kelas 5-6), SMP dan SMA
• 300,000+ video pembahasan soal
• Semua video udah dicek kebenarannya

Sukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!

• Peluang Wajib
• Kekongruenan dan Kesebangunan
• Statistika Inferensia
• Dimensi Tiga
• Statistika Wajib
• Limit Fungsi Trigonometri
• Turunan Fungsi Trigonometri
• Limit Fungsi
• Persamaan Lingkaran dan Irisan Dua Lingkaran
• Integral Tentu
• Integral Parsial
• Induksi Matematika
• Transformasi
• Fungsi Trigonometri
• Persamaan Trigonometri
• Irisan Kerucut
• Trigonometri
• Skalar dan vektor serta operasi aljabar vektor
• Logika Matematika
• Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Wajib
• Pertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu Variabel
• Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel
• Grafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma
• Transformasi Geometri
• Kesebangunan dan Kongruensi
• Bangun Ruang Sisi Lengkung
• Bilangan Berpangkat Dan Bentuk Akar
• Persamaan Kuadrat
• Fungsi Kuadrat
• Teorema Phytagoras
• Garis Singgung Lingkaran
• Bangun Ruang Sisi Datar
• Pola Bilangan Dan Barisan Bilangan
• Koordinat Cartesius
• Relasi Dan Fungsi
• Persamaan Garis Lurus
• Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (Spldv)
• Perbandingan
• Aritmetika Sosial (Aplikasi Aljabar)
• Sudut dan Garis Sejajar
• Bilangan Bulat Dan Pecahan
• Operasi Dan Faktorisasi Bentuk Aljabar
• Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
• Bangun Ruang
• Statistika 6
• Sistem Koordinat
• Bilangan Bulat
• Pengumpulan dan Penyajian Data
• Operasi Bilangan Pecahan
• Kecepatan Dan Debit
• Perpangkatan Dan Akar
• Aproksimasi / Pembulatan
• Bangun Datar
• Pengukuran Sudut
• Bilangan Romawi
• KPK Dan FPB
• Teori Relativitas Khusus
• Konsep dan Fenomena Kuantum
• Teknologi Digital
• Sumber-Sumber Energi
• Rangkaian Arus Searah
• Listrik Statis (Elektrostatika)
• Medan Magnet
• Induksi Elektromagnetik
• Rangkaian Arus Bolak Balik
• Radiasi Elektromagnetik
• Hukum Termodinamika
• Ciri-Ciri Gelombang Mekanik
• Gelombang Berjalan dan Gelombang Stasioner
• Gelombang Bunyi
• Gelombang Cahaya
• Alat-Alat Optik
• Gejala Pemanasan Global
• Alternatif Solusi
• Keseimbangan Dan Dinamika Rotasi
• Elastisitas Dan Hukum Hooke
• Fluida Statik
• Fluida Dinamik
• Suhu, Kalor Dan Perpindahan Kalor
• Teori Kinetik Gas
• Hukum Newton
• Hukum Newton Tentang Gravitasi
• Usaha (Kerja) Dan Energi
• Momentum dan Impuls
• Getaran Harmonis
• Hakikat Fisika Dan Prosedur Ilmiah
• Gerak Lurus
• Gerak Parabola
• Gerak Melingkar
• Kelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk Teknologi
• Produk Teknologi
• Sifat Bahan
• Kelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan
• Getaran dan Gelombang
• Gerak Dan Gaya
• Pesawat Sederhana
• Objek Ilmu Pengetahuan Alam Dan Pengamatannya
• Zat Dan Karakteristiknya
• Suhu Dan Kalor
• Fisika Geografi
• Struktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan Senyawa
• Benzena dan Turunannya
• Struktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan Makromolekul
• Sifat Koligatif Larutan
• Reaksi Redoks Dan Sel Elektrokimia
• Kimia Unsur
• Asam dan Basa
• Kesetimbangan Ion dan pH Larutan Garam
• Larutan Penyangga
• Kesetimbangan Larutan (Ksp)
• Sistem Koloid
• Kimia Terapan
• Senyawa Hidrokarbon
• Minyak Bumi
• Laju Reaksi
• Kesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan
• Larutan Elektrolit dan Larutan Non-Elektrolit
• Reaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama Senyawa
• Hukum-Hukum Dasar Kimia dan Stoikiometri
• Metode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam Kehidupan
• Struktur Atom Dan Tabel Periodik
• Ikatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul

Copyright © PT IQ EDUKASI. Hak Cipta Dilindungi.

• Kebijakan Privasi
• Ketentuan Layanan
• Kebijakan Pengembalian Dana

• Brilio Channels

Hello There

Sign In to Brilio

Welcome to our Community Page, a place where you can create and share your content with rest of the world

• BRILIOBEAUTY
• JALAN-JALAN
• PERSONAL FINANCE

BRILIO » Ragam

11 contoh soal program linear beserta pembahasannya, mudah dipahami, jika kamu ingin memahaminya lebih detail, bisa simak penjelasan dibawah ini..

26 Oktober 2022 20:41

Brilio.net - Penerapan materi dari pelajaran sering kali kita aplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Seperti halnya ketika kamu minum obat sesuai dosis yang diberikan oleh dokter, penggunaan lahan parkir, dan menghitung stok barang dagangan supaya tidak rugi. Kegiatan tersebut adalah penerapan materi matematika loh.

Materi matematika kali ini akan membahas tentang program linear. Dalam pembahasan ini kamu bisa menerapkan materi program linear untuk menghitung keuntungan maksimum dan minimum barang dagangan atau warung orang tua mu. Jika kamu ingin memahaminya lebih detail, bisa simak penjelasan dibawah ini.

Berikut brilio.net rangkum dari berbagai sumber pada Rabu (26/10).

Pengertian program linear

Program linear merupakan suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimum/minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan dari program linear. Persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear yang akan sering keluar pada soal soal.

Program linear juga merupakan pemecahan masalah dengan menggunakan pertidaksamaan linear. Program linear sebagai bagian dari matematika yang banyak digunakan dalam bidang ekonomi, pertanian, dan perdagangan. Dengan menggunakan program linear, seseorang dapat menghitung keuntungan maksimum atau biaya minimum.

Bagian-bagian program linear

Secara umum, program linear terdiri dari dua bagian diantaranya:

1. Fungsi objektif (fungsi tujuan)

Fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimalkan. Fungsi objektif bisa bernilai maksimum atau minimum. Hal ini tergantung pada kasusnya. Bentuk umum fungsi tujuan adalah maksimum atau minimum f(x, y) = px + qy, dengan p dan q adalah konstanta.

2. Fungsi kendala

Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh peubah yang terdapat dalam fungsi objektif. Bentuk umum dari fungsi kendala adalah sebagai berikut.

ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m

cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o

Karakteristik program linear

1. Program linear dapat mengatasi permasalahan dengan kendala-kendalanya dalam bentuk pertidaksamaan.

2. Program linear dapat mengatasi jumlah kendala yang banyak.

3. Program linear hanya terbatas pada fungsi objektif dan kendala linear.

1-5 Contoh soal program linear beserta pembahasannya [BOLD]

1. Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian permasalahan program linear.

foto: soalfismat.com

Nilai maksimum dari z= 40x + 30y adalah...

Pembahasan:

Subtitusi titik (0, 500); (400, 0) dan (300, 200) ke fungsi sasaran z= 40x + 30y sehingga hasilnya sebagai berikut:

~ Z (0, 500) = 40.0 + 30.500 = 15.000

~ Z (400, 0) = 40.40 + 30.0 = 16.000

~ Z (300, 200) = 40.300 + 30.200 = 18.000

Jadi, nilai yang terbesar adalah 18.000 sehingga nilai maksimumnya 18.000.

2. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah...tahun

Misalkan Umur Pak Andi=x, umur Amira=y dan umur Ibu Andi=z

x = 28 + y …(1)

z = x – 6; atau x=z+6...(2)

x + y + z = 119 …(3)

dengan melakukan operasi penjumlahan (1) pada (2) didapatkan

2x = y + z + 34 atau 2x – y – z = 34...(4)

Lakukan operasi penambahan (3) pada (4) atau

x + y + z = 119

2x – y – z = 34

Dengan melakukan substitusi x pada (1) dan (2) didapatkan

Y = 23; z = 45

Jadi, jumlah umur Amira (y) dan bu Andi (z) adalah y + z = 23 + 45 = 68.

3. Tentukan nilai maksimum fungsi f(x,y)= 4x + 5y yang akan dicapai pada grafik ini!

foto: studiobelajar.com

Titik ekstrim pada gambar adalah:

~ A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

B(3, 6) longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42

C(8, 2) longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42

D(8, 0) longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32

Jadi, nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

4. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

Pembahasan :

Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya adalah keuntungan penjualan sepatu. Jadi fungsi tujuannya adalah :

F(x,y) = 10.000x + 5.000y

Dengan pemisalan :

sepatu laki-laki = x

sepatu perempuan = y

Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut : x + y ≤ 400

100 ≥ x ≤ 150

150 ≥ y ≤ 250

Karena maksimum sepatu laki-laki hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 – 150 = 250.

Dari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut :

foto: soalkimia.com

Recommended By Editor

Game The Finals punya update baru, bisa tembus tembok untuk kagetkan lawan

• 15 Contoh soal volume tabung beserta kunci jawabannya, mudah dipahami
• 15 Contoh soal perbandingan pilihan ganda beserta jawaban
• 31 Contoh soal porogapit kelas 3, mudah dipelajari
• 9 Contoh soal menghitung persen dan caranya
• 5 Contoh soal peluang kejadian majemuk beserta pembahasannya

Tanpa meletakkan kapur barus, ini cara ampuh mengusir tikus cuma andalkan 2 bahan dapur

Tak perlu digosok sabun batang, trik atasi pintu geser macet biar lancar lagi ini pakai 1 bahan dapur

Tanpa treatment whitening, ini cara putihkan gigi berplak dan bernoda kuning cuma pakai 2 bahan dapur

Mengenal fitur profil publik Snapchat dan begini cara membuatnya

Pilih reaksi kamu.

Gak perlu khawatir, tulisan kamu bisa tetap TERBACA DAN TRENDING di Brilio.net

55 Pantun untuk cowok 2 baris ini dijamin bikin pasangan baper dan berkesan

6 Superfoods untuk melawan demam berdarah (DBD), pencegahan alami yang efektif

120 Kata-kata gombal baper buat pasangan, romantis dan bikin ikatan cinta makin erat

55 Pantun selamat pagi, bikin semangat dalam menjalani hari

50 Pantun pendidikan tentang semangat belajar, memotivasi sekaligus menghibur

Fenomena Gen Z, masih muda tapi muka terlihat lebih tua, ternyata ini penyebabnya

100 Gombalan untuk pacar, auto luluhkan hati dan bikin makin sayang

45 Pantun nembak pacar yang romantis dan lucu, bikin PDKT jadi berwarna

Terungkap penyebab Ijat jarang bicara dalam serial Upin & Ipin, kisah di baliknya bikin kasihan

7 Momen tasyakuran kehamilan anak pertama Erina Gudono, digelar intimate di Istana Negara

Tak ingin kena tipu, cara Ariel Noah tanya rekomendasi perabotan rumah tangga ke emak-emak ini disorot

11 Potret kocak soal ujian bergambar ini penampakannya bingungin abis, para siswa auto pusing

Ruben Onsu tiba-tiba dilarikan ke rumah sakit di Majalengka, begini kondisi terkininya

7 Momen majikan asal Arab Saudi datang ke nikahan ART di Indonesia, isi kadonya bikin heboh

Dulu pernah ditolak 7 kali kini mantap melamar, begini awal pertemuan Bastian Steel dan Sitha Marino

5 Seleb ini mengaku belum mau menikah, Jeremy Teti beralasan fokus ngurus keluarga

Remaja suka gambar di kelas kena cibir guru SMA disebut tak punya masa depan, kini sukses jadi dokter

50 Pantun motivasi belajar bikin semangat mengejar cita-cita

45 Pantun pembuka pidato, menginspirasi sekaligus menghidupkan suasana

100 Kata-kata gombal istri baper ini bikin cekikikan, hubungan jadi makin romantis

Kenali sebelum terlambat, ini 6 ciri-ciri demam berdarah pada orang dewasa serta tips mencegahnya

75 Pantun nasihat penuh makna dan pesan moral, wejangan yang inspiratif

45 Pantun perpisahan sekolah, berkesan dan penuh haru

Bagaimana cara mencegah polio? Kenali gejala, penyebab, dan cara mengatasinya

100 Kata-kata gombal bikin baper, cocok untuk meluluhkan hati doi

8 Cara gombalin pacar yang cuek, dijamin makin sayang dan bahagia

Waspada penyakit lupus, kenali penyebab, gejala dan cara mengatasinya

100 Kata-kata rayuan gombal lucu, singkat namun bikin pasangan makin jatuh cinta

50 Pantun penutup pidato, bikin acara makin berkesan

50 Pantun tentang sekolah, menginspirasi dan penuh nasihat

Mengenal bipolar disorder penyakit yang sempat diderita Mike Tyson hingga alami perubahan mood ekstrem

100 Pantun Islami penuh makna dan mengandung nasihat bijak

100 Kata-kata gombal baper cocok buat PDKT, sederhana tapi bikin hati berbunga-bunga

Download gratis aplikasi mobile Brilio :

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 dan Jawabannya

Haidunia.com – Contoh soal program linear kelas 11 ini cocok sekali bagi kalian yang duduk di kelas 11. Apalagi sedang membutuhkan materi dan contoh soal program linear. Maka tepat sekali jika membuka laman ini.

Contoh soal program linear kelas 11 dan jawabannya yang kami sajikan adalah untuk membantu kalian belajar mempersiapkan ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), Penilaian Akhir Semester (PAS).

Contoh soal program linear kelas 11 juga sering muncul pada tes seleksi masuk PTN UTBK-SMPTN. Jadi, mari kita pelajari dengan seksama materi program linear berikut ini. Semoga yang tim haidunia.com sajikan bisa menjadi solusi kesulitan belajar pada materi ini.

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 

Contoh Soal Program Linear Kelas 11 ini terdiri dari 10 soal pilihan ganda. Sengaja kami lengkapi dengan pembahasannya agar mempermudah proses kalian dalam memahami materi ini. Silahkan disimak, dan selamat belajar!

Soal (1) Jika titik (x,y) memenuhi 2x + 3 ≥ y ≥ x², maka nilai maksimum x + 2y adalah ….

(A) 21 (B) 12 (C) 1 (D) -1 (E) 9

Jawaban: A 2x + 3 ≥ y ≥ x 2 dapat dipecah menjadi y ≥ x 2 dan y ≤ 2x + 3 Menentukan titik potong kedua kurva:

y 1 = y 2 x 2 = 2x+3 x 2 – 2x – 3 = 0 (x+1)(x-3) = 0 x = -1 atau x = 3

Untuk x = -1; y= -12 =1, maka titiknya menjadi (-1,1) Untuk x = 3; y = 32 = 9, maka titiknya menjadi (3,9)

Menentukan nilai maksimum x +2 y Untuk di titik (-1,1) → -1 + (2)(1) = 1 Untuk di titik (3,9) → 3 + (2)(9) = 21 Jadi nilai maksimum dari x + 2y adalah 21. Jadi jawaban yang benar adalah A.

Soal (2) Pada sistem pertidaksamaan x + y ≥ 2, x – y ≤ 0, x – 4y ≥ -18 berlaku 3x + 2y ≥ k. Nilai k terbesar adalah ….

(A) 2 (B) 5 (C) 10 (D) 20 (E) 30

Jawaban: E Untuk 3x + 2y ≥ k, nilai k terbesar sama dengan nilai maksimum dari (3x + 2y), sehingga fungsi tujuannya adalah f(x,y) = 3x + 2y dengan kendala x + y ≥ 2, x – y ≤ 0, x – 4y ≥ -18

Eliminasi x + y ≥ 2 dan x – y ≤ 0 x + y = 2 x – y = 0  _ 2y = 2,

Maka y = 1; x = 1. Sehingga titiknya adalah (1,1). Eliminasi x + y ≥ 2 dan x – 4y ≥ -18 x + y = 2 x – 4y = -18  _ 5y = 20,

Maka y = 4; x = -2. Sehingga titiknya adalah (-2,4). Eliminasi x – y ≤ 0 dan x – 4y ≥ -18

x – y = 0 x – 4y =- 18   _ 3y = 18

Maka y = 6; x = 6. Sehingga titiknya adalah (6,6). Subtitusikan semua titik ke fungsi tujuan f(x,y) = 3x + 2y

Untuk titik (1,1) nilai f(1,1) = 3(1) + 2(1) = 5

Untuk titik (-2,4) nilai f(-2,4) = 3(-2) + 2(4) = 2

Untuk titik (6,6) nilai f(6,6) = 3(6) + 2(6) = 30.

Nilai maksimum 3x + 2y = 30 sehingga k ≤ 3x + 2y → k ≤ 30, jadi nilai maksimum k adalah 30. Sehingga jawaban yang benar adalah E.

Soal (3) Seorang penjahit pakaian akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain polos 30 meter dan kain bermotif 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain polos dan 1 meter kain bermotif, sedangkan model B memerlukan 2 meter kain polos dan 0,5 kain bermotif. Maksimum banyak pakaian yang dapat dibuat adalah ….

(A) 15 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 35

Kain Polos Model A: 1 Model B: 2 Persediaan: 30

Kain Bermotif Model A: 1 Model B: 0,5 Persediaan: 15

Misalkan model A = x dan model B = y, maka sistem pertidaksamaannya adalah : x + 2y ≤ 30 x + 0,5y ≤ 15 x ≥ 0 y ≥ 0

Fungsi obyektifnya adalah: f(x,y) = x + y

Maka daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

Sumber : https://www.geogebra.org/geometry

Titik potongnya adalah: x + 2y = 30 x – 0.5y = 15 _ 1.5y = 15

y = 10, maka x = 10 Uji titik potong: f(x,y) = x + y f(0,15) = 0 + 15 = 15 f(10,10) = 10 + 10 = 20 f(15,0) = 15 + 0 = 15 Jadi banyak pakaian yang dapat dibentuk adalah 20. Jadi jawaban yang tepat adalah B.

Soal (4) Untuk membuat barang  diperlukan  jam kerja mesin I dan  jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang  diperlukan jam kerja mesin I dan  jam kerja mesin II. Setiap hari mesin I bekerja tidak lebih dari jam kerja, sedangkan mesin II tidak lebih dari  jam kerja. Jika setiap hari dapat dihasilkan  barang  dan  barang , maka model matematikanya adalah ….

(A) 4x + 3y ≤ 10, 6x + 9y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0 (B) 4x + 3y ≤ 15, 6x + 9y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 (C) 3x + 4y ≤ 10, 9x + 6y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0 (D) 2x + y ≤ 5, 3x + 3y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 (E) 2x + 3y ≤ 5, x + 3y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0

 Jawaban: E

Mesin I Barang A(x): 4 Barang B(y): 6 Maksimal jam kerja: 10

Mesin II Barang A(x): 3 Barang B(y): 9 Maksimal jam kerja: 15

Sehingga model matematikanya adalah: 4x + 6y ≤ 10 → 2x + 3y ≤ 5 3x + 9y ≤ 15 → x + 3y ≤ 5 x ≥ 0 y ≥ 0

Jadi model matematikanya adalah:

• 2x + 3y ≤ 5
•  x + 3y ≤ 5

Jadi jawaban yang tepat adalah E.

Soal (5) Nilai maksimum dari 15x + 10 untuk x dan y yang memenuhi x + y ≥ 15, 0 ≤ x ≤ 15, 0 ≤ y ≤ 20 adalah ….

(A) 245 (B) 145 (C) 225 (D) 10 (E) 20

Jawaban: A Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut :

Sumber: https://www.geogebra.org/geometry

Subtitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan: f(x,y) = 15x + 10 A (0,15) = 15.0 + 10 = 10 B (0,20) = 15.0 + 10 = 10 C(15,20) = 15.15 + 10=235 D(15,0) = 15.15 + 10=235 Jadi nilai maksimumnya adalah 235. Jadi jawabannya adalah A.

Soal (6) Pesawat penumpang berkapasitas 50kursi tempat duduk, setiap penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 20 kg, sedangkan kelas utama 50 kg. Kapasitas maksimum bagasi adalah 1300 kg. Harga tiket kelas ekonomi adalah Rp 000 sedangkan kelas utama adalah Rp 750.000. Supaya pendapatan dan penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah penduduk kelas utama haruslah ….

(A) 40 (B) 10 (C) 50 (D) 26 (E) 0

Jawaban: B Misal kelas utama = x, dan kelas ekonomi =y Kapasitas: x + y ≤ 50 → (0,50), (50,0)

Bagasi: 50x + 20y ≤ 1300 → 5x + 2y ≤ 130 → (0,65), (26,0) Fungsi tujuan: f(x,y) = 750.000x + 350.000y Menentukan titik potong kedua garis :

x + y = 50     |×2|  2x + 2y = 100 5x + 2y = 130  |×1| 5x + 2y = 130   _

x = 10, maka y = 40 Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

(sumber: https://www.geogebra.org/geometry )

Subtitusi semua titik pojok ke semua fungsi tujuan: f(x,y) = 750.000x + 350.000y

A(0,50) = (750.000)(0) + (350.000)(50) = 17.500.000 B(10,40) = (750.000)(10) + (350.000)(40) = 21.500.000 C(26,0) = (750.000)(26) + (350.000)(0)  =19.500.000

Sehingga pendapatan maksimumnya adalah Rp 21.500.000 saat penjualan kelas utama sebanyak 10 tiket dan kelas ekonomi sebanyak 40 tiket. Jadi jumlah penumpang kelas utama adalah 10 orang. Jawaban yang benar adalah B.

Soal (7) Agar titik (x,y) = (1,1) berada dalam penyelesaian sistem pertidaksamaan linier: y – 2x ≤ 5, y ≥ -2x, y ≤ a – 2x, maka bilangan bulat terkecil a yang memenuhi adalah ….

(A) -3 (B) 1 (C) -2 (D) -1 (E) 3

Jawaban: E Konsep dasar program linear: Suatu titik akan berada dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan yang ada. Karena titik (x,y) = (1,1) berada dalam daerah penyelesaian, maka titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan. Bukti:

(x,y) = (1,1) → y – 2x ≤ 5 1 – (2)(1) ≤ 5 -1 ≤ 5 (Benar) (x,y) = (1,1) → y ≥ -2x 1 ≥ -21 1 ≥ -2 (Benar)

(x,y) = (1,1) → y ≤ a – 2x 1 ≤ a – 21 3 ≤ a Sehingga diperoleh a ≥ 3, artinya nilai terkecil a adalah 3. Jadi jawabannya adalah E.

Soal (8) Luas suatu area peternakan adalah 150 m². Diperlukan tempat seluas 5 m² untuk membuat kandang itik dan 10 m² untuk kandang ayam. Setiap kandang itik mampu menghasilkan uang sebesar Rp 100.000 setiap harinya, sedangkan kandang ayam mampu menghasilkan uang sebesar Rp 200.000 setiap harinya. Tetapi area peternakan tersebut tidak mampu menampung lebih dari 18 kandang itik dan kandang ayam. Maka pendapatan maksimum dari area peternakan tersebut dalam sehari adalah ….

(A) Rp 2.400.000 (B) Rp 1.800.000 (C) Rp 3.000.000 (D) Rp 4.800.000 (E) Rp 3.500.000

Misal kandang itik = x dan kandang ayam = y Kapasitas: x + y ≤ 18 → (0,18), (18,0)

Luas area: 5x + 10y ≤ 150 → x + 2y ≤ 30 → (0,15), (30,0)

Fungsi tujuan: f(x,y) = 100.000x+200.000y Menentukan titik potong kedua garis:

x + y = 18 x + 2y = 30 _ -y = -12

y = 12, maka x = 6 Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir sebagai berikut:

Subtitusi semua titik pojok ke semua fungsi tujuan: f(x,y) = (100.000)(x) + (200.000)(y) A(0,15) = (100.000)(0) + (200.000)(15) = 3.000.000

B(6,12) = (100.000)(6) + (200.000)(12) = 3.000.000

C(18,0) = (100.000)(18) + (200.000)(0)  =1.800.000

Sehingga pendapatan maksimumnya adalah Rp 3.000.000. Jadi jawaban yang benar adalah C.

Soal (9) Fungsi f(x,y) = cx + 2y mempunyai kendala x + 2y ≥ 2, 2x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥0 mencapai minimum di (2,1), jika c dalam interval ….

(A) 1 < c ≤ 4 (B) 1 < c < 4 (C) 1 > c > 4 (D) 1 ≤ c ≤ 4 (E) 1 ≥ c ≥ 4

Jawaban: D Menyelesaikan program linier dengan metode gradien: Cek letak titik (2,1) ke persamaan dengan cara subtitusi:

(x,y) = (2,1) → x + 2y ≥ 2 2 + (2)(1) ≥ 2 4 ≥ 2 (Benar)

(x,y) = (2,1) → 2x + y ≥ 4 (2)(2) + 1 ≥ 4 5 ≥ 4 (Benar) Artinya titik (2,1) ada pada perpotongan kedua garis.

Menentukan gradien: ax + by = c, maka gradien m = -a/b 2x + y ≥ 4 → m 1 = -2 x + 2y ≥ 2 → m 2 = -12 Gradien fungsi tujuan f(x,y) = cx + 2y → m = -c/2

Berdasarkan metode gradien menyatakan:

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan terletak pada perpotongan kedua garis jika dan hanya jika gradien fungsi tujuannya terletak di antara gradien garis kendalanya.

Menentukan interval c berdasarkan metode gradien: m 1 ≤  m ≤ m 2

-2 ≤ -c/2 ≤ -12    |× 2| -4 ≤ -c ≤ -1       |×-1, tanda berubah| 4 ≥ c ≥ 1

Jadi interval c adalah 1≤c≤4. Jadi jawaban yang tepat adalah D.

Soal (10) Nilai maksimum f(x,y) = 3x + 2y pada daerah x + 3y ≤ 9, 3x + 4y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥0 adalah ….

(A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 27

Jawaban: E Pembahasan diserahkan kepada pembaca!

Demikian pembahasan kita mengenai contoh soal program linear kelas 11 dan pembahasannya. Untuk melengkapi pemahaman Anda silahkan Anda mengunjungi laman kami yang lain. Sekian, semoga yang kami sajikan benar-benar bisa membantu memudahkan proses belajar Anda. Salam!

About Author

Ageng Triyono

Lecturer|Curriculum Researcher Edutech|Test Instument Developer|Founder Kontenpositif.id

See author's posts

Related posts

Bagaimana Budaya Etos Akademik Seorang Mahasiswa Muslim?

Contoh Soal PPPK Guru SD 2021 dan Jawaban (Pdf)

Kumpulan Contoh Soal Objek IPA dan Pengamatannya Kelas 7 Beserta Jawabannya

Soal Try Out P3K Guru Kelas SD Gratis (Contoh Dari Kemendikbud)

Mau Lulus P3K Tahun 2024? Pelajari 12 Contoh Soal Wawancara PPPK 2022 dan Kunci Jawaban Ini!

Soal Klasifikasi Makhluk Hidup Kelas 7 dan Jawabannya (Contoh Latihan Soal HOTS)

Leave a Reply Cancel reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment.

membantu kalian belajar mempersiapkan ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), Penilaian Akhir Semester (PAS), atupun buat kalian yang sedang mempersiapkan diri pada tes seleksi masuk PTN UTBK-SMPTN.

Alamat Redaksi

Haidunia Digital Media Jl. Padjajaran, Sinduadi, Mlati, Sleman 55284, Daerah Istimewa Yogyakarta [email protected] 082242182436 (WhatsApp )

Navigasi Halaman

• Hubungi Kami
• Kebijakan Privasi
• Pedoman Media Siber
• Tentang Kami

Blog Pendidikan, Teknologi & Lifestyle Indonesia

Thursday 17 September 2020

Contoh soal program linear kelas 10 [+cara dan pembahasan].

Program Linear

Model Matematika Program Linear

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Latihan Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh soal dan Pembahasan

Popular Posts

• Diketahui n = 5, ∑x = 20; ∑y = 35; ∑xy = 150; ∑(x – x)2 = 10 dan ∑(y – y)2 = 10. Persamaan regresi yang menunjukkan hubungan variabel x dan y adalah . . . .
• Perhatikan diagram pencar berikut. Data outlier pada diagram pencar tersebut ditunjukkan oleh nomor . . .
• Seseorang ingin menyelidiki pengaruh jam kerja pegawai di suatu perusahaan terhadap besar gaji yang diterima. Data yang ia peroleh disajikan dalam tabel berikut. . .
• Persentase besar pengaruh lama menonton TV dalam sehari terhadap nilai ujian Matematika adalah . . .
• Pembahasan dan Kunci Jawaban Matematika Kelas 11 Kurikulum Merdeka Penerbit Erlangga

Contoh Soal Program Linear dan Jawaban

Contoh Soal Program Linear dan Jawaban – Program linear merupakan suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimum/minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan dari program linear. Persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif . Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear yang akan sering keluar pada soal soal.

Grafik Pertidaksamaan Linear

Penyelesaian pertidaksamaan pada diagram cartesius, caranya sebagai berikut:

Jika garis itu tidak melalui titik (0,0) maka ambilah titik lain sebagai titik uji, yaitu (0,0)! Jika garis itu melalui titik (0,0) maka ambilah titik lain sebagai titik uji (ambil sembarang selain titik (0,0))!

1 – 10 Soal Program Linear dan Jawaban

1. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. tahun

A. 86 

B. 74 

C. 68 

Jawaban : C

Pembahasan : 

Misalkan Umur Pak Andi=x, umur Amira=y dan umur Ibu Andi=z x = 28 + y …(1) z = x – 6; atau x=z+6 …(2) x + y + z = 119 …(3) dengan melakukan operasi penjumlahan (1) pada (2) didapatkan 2x = y + z + 34 atau 2x – y – z = 34 …(4) Lakukan operasi penambahan (3) pada (4) atau x + y + z = 119 2x – y – z = 34 3x =153 Atau x = 51 Dengan melakukan substitusi x pada (1) dan (2) didapatkan Y = 23; z = 45 Sehingga jumlah umur Amira (y) dan bu Andi (z) adalah y + z = 23 + 45 = 68

2. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

5x + y ≥ 10 2x + y ≤ 8         y ≥ 2

ditunjukkan oleh daerah . . .

Terlihat pada gambar bahwa A adalah persamaan garis 5x + y = 10 titik potong dengan sumbu x jika y = 0 x = 2 → titik (2,0) titk potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 10 → titik (0,10) daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut dan di atas garis (I, II,III, V) —(a) B adalah persamaan garis 2x + y = 8 titik potong dengan sumbu x jika y=0 x = 4 → (4,0) titik potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 8 → (0,8) daerah 2x + y ≤ 8 berada pada garis persamaan tersebut dan di bawah garis (III, V) ….(b)  C adalah garis y = 2 daerah di atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b) dari (a) , (b) dan (c) : 1) I II III V 2) III V 3) I II III IV Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III

3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan- pertidaksamaan 2x+y≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai berikut : 

Jawaban : E

2x + y ≥ 4 ; 2x + y = 4 titik potong dengan sumbu x , y = 0 x = 2 → (2,0) titik potong dengan sumbu y, x = 0 y = 4 → (0,4) 3x + 4y ≤ 12 3x + 4y = 12 titik potong dengan sumbu x, y = 0 x = 4 → (4,0) titik potong dengan sumbu y, x = 0 y=3 → (0,3)

4. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear… 

A. x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

B. x + 2y ≥ 8, 3x + 2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

C. x – 2y ≥ 8, 3x – 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

D. x + 2y ≤ 8, 3x – 2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

E. x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

Jawaban : A

karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka x + 2y ≤ 8 ….(2) Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y≥ 0 ….(3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) 3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 dan x≥ 0, y≥ 0

5. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan… 

A. 5x + 3y ≤ 30, x – 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

B. 5x + 3y ≤ 30, x – 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

C. 3x + 5y ≤ 30, 2x – y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

D. 3x + 5y ≤ 30, 2x – y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

E. 3x + 5y ≥ 30, 2x – y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

Jawaban : D

Baca Juga Soal Pythagoras

6. Daerah yang diarsir pda gambar di bawah ini menunjukkan himpunan titik (x,y) yang memenuhi pembatasan di bawah ini, yaitu …. 

A. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, – x + y ≥ 2

B. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≥ 2

C. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2

D. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≤ 2

E. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2

7. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan… 

A. 3x + 2y≤ 21, -2x +3y≤ 12, x≥ 0, y≥ 0

B. 2x + 3y ≤ 21, -2x – 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

C. -3x + 2y  ≥ 21, -2x+3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

D. -3x- 2y ≥ 21, 2x +3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

E. 3x – 2y ≥ 21, 2x -3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

8. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. 

Sistem pertidaksamaan linier itu adalah ……

A. y ≥ 0, 3x + y ≥ 6, 5x + y ≤ 20, x – y ≥ -2

B. y ≥ 0, 3x + y ≤ 6, 5x + y ≥ 20, x – y ≥ -2

C. y ≥ 0, x + 3y ≥ 6, x + 5y ≤ 20, x – y ≤  2

D. y ≥ 0, x + 3y ≤ 6, x +5y ≥ 20, x – y ≥ -2

E. y ≥ 0, 3x – y ≥ 6, 5x -y ≤ 0, x – y ≥ -2

9. Nilai minimum fungsi objektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah berarsir seperti gambar di bawah adalah …….

Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari posisi 2 titik ekstrim yang lain

Tentukan persamaan garis:

10. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg.

Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg bahan C Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg bahan C

Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut adalah…

A. Rp. 8000.000,- 

B. Rp. 4500.000,-

C. Rp. 3900.000,- 

D. Rp. 3100.000,-

E. Rp. 2900.000,-

Buat persamaan :

Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb: 2x + y ≤ 160 …..(1) x + 2y ≤ 110 …..(2) x + 3y ≤ 150 ….(3) buat sketsa grafiknya: “Sketsa grafik diperlukan untuk melihat daerah himpunan penyelesaian dan titik-titik ekstrim, dibutuhkan skala yang tepat untuk mendapatkan grafik yang optimum (benar atau mendekati kebenaran) untuk memudahkan penyelesaian” Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50), (80,0), titik A dan titik B perpotongan (1) dan (2)  → titik B

11 – 20 Contoh Soal Program Linear dan Jawaban

11. Luas daerah parkir 1.760 m² . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m² . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah:

A. Rp.176.000,- 

B. Rp. 200.000,-

C. Rp.260.000,- 

D. Rp. 300.000,-

E. Rp.340.000,-

Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu: Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y 4 x + 20 y ≤ 1760 x + 5y ≤ 440 …..(1) x + y ≤ 200 ….(2) nilai maksimum 1000x + 2000y = ? buat sketsa grafiknya:

12. Tentukan sistem pertidaksamaan linear dari daerah yang diarsir pada gambar berikut ini!

Jawaban : 

Garis k terdiri dari titik (3,0) dan (0,4) maka garisnya adalah : 

13. Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi x + y ≤ 5 , x ≥ 0 , y ≥ 0, dan x , y ∈ R.

Jadi, nilai maksimum dicapai pada titik (5,0) yaitu: 3 . 5 + 2 . 0 = 15.

14. Perhatikan Grafik berikut :

Persamaan garis yang melalui 2 titik (0,4) dan (5,7) adalah . . .

15. Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.

Pembahasan :

Misalkan : apel = x anggur = y jeruk = z Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut : 1). 2x + 2y + z = 67.000 2). 3x + y + z = 61.000 3). x + 3y + 2z = 80.000 Ditanya : x + y + 4z = …? Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. Baca Juga 20+ Soal Persamaan Trigonometri

16. Pada sebuah toko buku, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,00. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan oleh Bibah.

misalkan : buku = x pulpen = y pensil = z Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut : 1). 4x + 2y + 3z = 26.000 2). 3x + 3y + z = 21.000 3). 3x + z = 12.000 Ditanya : 2y + 3z = ….? Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu mencari harga satuan y dan z. Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan 3x + z = 12.000, diperoleh harga satuan pulpen yaitu :

17. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya adalah keuntungan penjualan sepatu. Jadi fungsi tujuannya adalah : F(x,y) = 10.000x + 5.000y Dengan pemisalan : sepatu laki-laki = x sepatu perempuan = y Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut :  x + y ≤ 400 100 ≥ x ≤ 150 150 ≥ y ≤ 250 Karena maksimum sepatu laki-laki hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 – 150 = 250. Dari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut : Dari grafik jelas telihat bahwa keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas yaitu titik (150,250). Maka nilai maksimum dari fungsi tujuan F(x,y) = 10.000x + 5000y adalah : F(150,250) = 150 (10.000) + 250 (5.000) = 2.750.000 Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp 2.750.000,00

18. Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.

Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita tersebut. Karena yang ditanya pendapatan maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem pertidaksamaan, yang perlu kita lakukan adalah menentukan variabel dan koefisiennya. Bahan yang tersedia: Tepung = 8 kg = 8000 g Gula = 2 kg = 2000 g Misalkan : kue dadar = x kue apem = y  Maka jumlah tepung, gula, dan harga jual merupakan koefisien. Agar lebih mudah, kita dapat memasukkan data yang ada pada soal ke dalam bentuk tabel seperti berikut : Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut : 20x + 50y = 800 → 2x + 5y ≤ 800 10x +5y = 2000 → 2x + y ≤ 400 x ≥ 0 dan y ≥ 0  dengan fungsi tujuan f(x,y) = 300x + 500y  Kemudian gambarkan sistem pertidaksamaan yang sudah disusun dalam grafik. Untuk garis 2x + 5y = 800 x = 0, y = 160 → (0, 160) y = 0, x = 400 → (400, 0) Untuk garis 2x + y = 400 x = 0, y = 400 → (0, 400) y = 0, x = 200 → (200, 0) Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400 2x + y = 400 y = 400 – 2x Dengan metode substitusi : 2x + 5y = 800 2x + 5(400 – 2x) = 800 2x + 2000 – 10x = 800 -8x = -1200 x = 150 Karena x = 150, maka : y = 400 – 2x y = 400 – 2(150) y = 400 – 300 y = 100 Dengan demikian titik B (150, 100) Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi tujuan : A(0, 160) → F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000 B(150, 100) → F(x,y) = 300(150) + 500(100) = 95.000 C(200, 0) → F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000 Jadi, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 95.000,00.

19. Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.

Karena ditanya keuntungan, tentu fungsi tujuannya adalah besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Untuk itu, tentukan terlebih dahulu keuntungan menjual sapi dan kerbau sebagai berikut : untung sapi = Rp 10.300.000,00 – Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00 untung kerbau = Rp 9.200.000,00 – Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00 Misalkan banyak sapi = x dan banyak kerbau = y, maka fungsi tujuan menjadi : F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y Model matematika yang memenuhi soal adalah : x ≥ 0 → banyak sapi tidak mungkin negatif y ≥ 0 → banyak kerbau tidak mungkin negatif x + y ≤ 15 → karena kandang hanya dapat menampung 15 ekor. Karena modal Pak Mahmud Rp 124.000.000,00 maka : 9.000.000x + 8.000.000y ≤ 124.000.000  → disederhanakan menjadi : 9x + 8y ≤ 124 Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam grafik. Untuk x + y = 15 jika x = 0, maka y = 15 → (0,15) jika y = 0, maka x = 15 → (15,0) Untuk 9x + 8y = 124 Jika x = 0, maka y = 15,5 → (0, 16) → digenapkan karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2. jika y = 0, maka x = 13,7 → (13 ,0) → digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00. Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C dapat ditentukan secara langsung yaitu A(0,15) dan C(13,0). Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124. x + y = 15 , maka x = 15 – y → substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124 9(15 – y) + 8y = 124 135 – 9y + 8y = 124 y = 11 x + y = 15 x + 11 = 15 x = 4 → jadi titik B(4,11) Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan : A(0,15) → f(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000 B(4,11) → f(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000 C(13,0) → f(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000 Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.

20. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Karena ditanya laba maksimum, maka fungsi tujuannya adalah keuntungan dari menjual buah mangga dan buah pisang perkilonya. Berikut untung penjualan : mangga = 9.200 – 8.000 = 1.200 pisang = 7.000 – 6000 = 1.000 misalkan : mangga = x pisang = y maka fungsi tujuannya adalah : F(x,y) = 1.200x + 1.000y Model matematika atau sistem pertidaksamaan yang memenuhi soal tersebut adalah : x + y ≤ 180 8.000x + 6.000y ≤ 1.200.000 → 4x + 3y ≤ 600 x ≥ 0 y ≥ 0 Titik potong masing-masing garis terhadap sumbu x dan sumbu y :  Garis x + y = 180 untuk x = 0 , y = 180 → (0, 180) untuk y = 0, x = 180 → (180,0) Garis 4x + 3y = 600 untuk x = 0, y = 200 → (0, 200) untuk y = 0, x = 150 → (150, 0) Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah :  Dari grafik diketahui ada tiga titik pojok yaitu A, B, dan C. Titik C merupakan perpotongan antara garis x + y = 180 dengan 4x + 3y = 600. Substitusi titik pojok pada fungsi objektif F(x,y) 1.200x + 1.000y : A (0, 180) → F(x,y) =1.000(180) = 180.000 B (60, 120) → F(x,y) = 1.200(60) + 1.000(120) = 192.000 C (150,0) → F(x,y) = 1.200(150) = 180.000 Jadi laba maksimum yang diperoleh pedagang buah adalah Rp 192.000,00.

21 – 25 Soal Program Linear dan Pembahasan

Soal cerita.

21. Ibu Leni akan membuat 2 jenis roti dengan menggunakan bahan tepung 300 gram dan mentega 20 gram untuk jenis A. Sedangkan untuk jenis B digunakan bahan 200 gram tepung dan 60 gram mentega. Jika bahan yang tersedia 3 kg tepung dan 1,2 kg mentega

a) Ubahlah permasalahan tersebut ke dalam model matematika! b) Gambarkanlah grafik daerah himpunan penyelesaian dari permasalahan tersebut, lengkap dengan langkah-langkah penyelesaiannya!

Memahami masalah Diketahui : Ada dua jenis roti Jenis A menggunakan bahan tepung 300 gram dan mentega 20 gram Jenis B menggunakan bahan tepung 200 gram dan mentega 60 gram Bahan yang tersedia 3 kg tepung dan 1,2 kg mentega a) ubahlah permasalahan tersebut kedalam model matematikanya! Jawaban :  b) Menggambarkan daaerah penyelesaian: Ambil titik uji P (0,0), akan diperoleh hubungan:  Titik uji P (0,0) untuk persamaan 3x + 2y = 30 diperoleh hubungan: 3x + 2y ≤ 30 => 3 (0) – 2 (0) ≤ 30 => 0 – 0 ≤ 30 => 0 ≤ 30 (benar) Berarti daerah tempat titik P (0,0) merupakan daerah penyelesaian Titik uji P (0,0) untuk persamaan x + 3y = 60 diperoleh hubungan: x + 3y ≤ 60 => 0 – 3 (0) ≤ 60 => 0 – 0 ≤ 60 => 0 ≤ 60 (benar) Berarti daerah tempat titik P (0,0) merupakan daerah penyelesaian Menentukan daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 x ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan y dengan daerah penyelesaian dikanan sumbu y y ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan x dengan daerah penyelesaian dikanan sumbu x Gambar grafik

22. Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padi. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp 17.500,00 dan pupuk II harganya Rp 14.500,00 per bungkus.

a) Ubahlah permasalahan tersebut ke dalam model matematikanya! b) Gambarkanlah grafiknya!

Memahami masalah Diketahui: Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus Pupuk II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus Pupuk harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen Satu bungkus pupuk I harganya Rp 17.500,00 dan pupuk II hargnya Rp14.500,00 perbungkus a) Ubahlah permasalahan tersebut ke dalam model matematikanya! b. Menggambarkan grafiknya Diketahui persamaan 3x + 2y ≥ 60 dan 3x + 4y ≥ 72 Untuk 3x + 2y ≥ 60 Menentukan titik potong pada sumbu x dan y Untuk y = 0 => 3x + 2(0) = 60 3x = 60 x = 20 => (20, 0) Untuk x = 0 => 3(0) + 2y = 60 2y = 60 y = 30 => (0, 30) Untuk 3x + 4y ≥ 72 Menentukan titik potong pada sumbu x dan y Untuk y = 0 => 3x + 4(0) = 72 3x = 72 x = 24 => (24, 0) Untuk x = 0 => 3(0) + 4y = 72 4y = 72 y = 18 => (0, 18) dapat diperoleh grafik

23. Menjelang hari raya Idul Adha pak Andi hendak menjual sapi dan kambing. Harga seekor sapi adalah Rp. 9.000.000,00 dan harga seekor kambing adalah Rp. 3.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Anto adalah Rp. 90.000.000,00. Keuntungan yang didapat pak Andi dari penjualan seekor sapi adalah Rp. 1.500.000,00 sedangkan keuntungan yang didapat dari penjualan sesekor kambing adalah Rp. 1.000.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 18 ekor binatang. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kambing yang harus dibeli pak Andi!

Memahami masalah diketahui: Harga seekor sapi adalah Rp. 9.000.000,00 Harga seekor kambing adalah Rp. 3.000.000,00 Modal yang dimiliki pak Anto adalah Rp. 90.000.000,00. Keuntungan yang didapat pak anto dari penjualan seekor sapi adalah Rp. 1.500.000,00 Sedangkan keuntungan yang didapat dari penjualan sesekor kambing adalah Rp. 1.000.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 18 ekor binatang. Ditanya : Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kambing yang harus dibeli pak Anto! menyusun rencana penyelesaian masalah mendefinisikan variabel menentukan fungsi obyektif menyusun model matematika dari setiap kendala yang ada persyaratan non negatif Mengambar daerah penyelesaian yang memenuhi kendala Menentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian. Mensubstitusikan masing-masing titik pojok ke fungsi obyektif. Memilih titik yang menjadikan nilai fungsi obyektif menjadi maksimum melaksanakan rencana penyelesaian masalah mendefinisikan variabel Misal: x = sapi y = kambing menentukan fungsi obyektif Keuntungan yang didapat pak anto dari penjualan seekor sapi adalah Rp. 1.500.000,00 Sedangkan keuntungan yang didapat dari penjualan sesekor kambing adalah Rp. 1.000.000,00. Fungsi obyektif/fungsi tujuan : Z = 1.500.000x + 1.000.000y menyusun model matematika dari setiap kendala yang ada Harga seekor sapi adalah Rp. 9.000.000,00 sedangkan harga seekor kambing adalah Rp. 3.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Anto adalah Rp. 100.000.000,00. Kendala 1 : 9.000.000x + 3.000.000y ≤ 90.000.000 => 9x + 3y ≤ 90 Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 18 ekor binatang. Kendala 2 : x + y ≤ 18 persyaratan non negatif x ≥ 0 y ≥ 0 menggambarkan daerah penyelesaian dari masalah tersebut. 9x + 3y = 90 Gambar grafik: Untuk mencari titik potong garis 9x + 3y = 90 dan garis x + y = 18 menggunakan cara eliminasi-substitusi: Menentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian berdasarkan gambar, maka didapat 3 titik pojok, yaitu : (10,0), (0,18), dan (6,12) Mensubstitusikan masing-masing nilai pojok ke fungsi obyektif Memilih titik yang menjadi nilai fungsi obyektif menjadi nilai maksimum titik yang menjadikan nilai fungsi obyektif menjadi nilai maksimum adalah titik C (6,12). Jadi, agar keuntungannya maksimum maka jumalah sapi dan kambing yang harus dibeli pak Anto adalah 6 ekor sapi dan 12 ekor kambing.

24. Seorang pengusaha mempunyai pabrik sepatu di dua kota, yaitu di kota Jakarta dan Semarang. Untuk memenuhi pemesanan sebanyak 300 sepatu pria, 200 sepatu wanita dan 240 sepatu anak-anak. Maka pengusaha tersebut mengoperasikan kedua pabrik tersebut. Pabrik Jakarta setiap hari menghasilkan sepatu pria, sepatu wanita dan sepatu anak-anak yang masing-masing 30, 10, dan 12 dengan ongkos pekerja Rp 40.000,00/hari. Pabrik di Semarang setiap hari menghasilkan sepatu pria, sepatu wanita, dan sepatu anak-anak yang masing-masing 8, 10, dan 24 dengan ongkos pekerja Rp 30.000,00/ hari.

a. Ubahlah permasalahan tersebut ke dalam model matematikanya! b. Gambarkanlah grafiknya! c. Tentukan biaya total minimum untuk ongkos pekerja perusahaan tersebut! 

Memahami masalah Diketahui: Pabrik di Jambi setiap hari menghasilkan sepatu pria, sepatu wanita dan sepatu anak-anak masing-masing 30, 10, dan 12 dengan ongkos pekerja Rp. 40.000/hari. Pabrik di Solo setiap hari menghasilkan sepatu pria, sepatu wanita dan sepatu anak-anak masing-masing 8, 10, dan 24 dengan ongkos pekerja Rp. 30.000/hari. Jumlah pesanan sebanyak 300 sepatu pria, 200 sepatu wanita, dan 240 sepatu anak-anak. Ditanya: a. Ubahlah permasalahan tersebut ke dalam model matematikanya! b. Gambarkanlah grafiknya! c. Tentukan biaya total minimum untuk ongkos pekerja perusahaan tersebut! Jawab : menyusun rencana penyelesaian masalah mendefinisikan variabel menentukan fungsi obyektif menyusun model matematika dari setiap kendala yang ada persyaratan non negatif Mengambar daerah penyelesaian yang memenuhi kendala Menentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian. Mensubstitusikan masing-masing titik pojok ke fungsi obyektif. Memilih titik yang menjadikan nilai fungsi obyektif menjadi minimum Melaksanakan rencana penyelesaian masalah Misalkan : x = Pabrik di Jambi y = Pabrik di Solo a) permasalahan diatas dapat dituangkan dalam tabel seperti berikut : b) Menggambarkan grafiknya dapat diperoleh grafik c) biaya total minimum untuk ongkos pekerja perusahaan  Untuk mencari biaya minimum yang harus dikeluarkan, maka kita tentukan terlebih dahulu titik potong antara dua garis dengan eliminasi. dengan menguji metode titik pojok, diketahui pengeluaran minimum dengan tabel sebagai berikut: Sehingga diperoleh, total pengeluaran minimum dari perusahaan tersebut adalah Rp.650.000, pada titik potong C (5, 15).

25. Bapak Darman adalah seorang pedagang buah di kota Binjai yang mempunyai modal sebesar Rp. 1.200.000,00. Ia membeli buah manggis dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan buah duku dengan harga Rp. 6.000,00/kg. gerobak dagangan pak darman hanya dapat menampung buah manggis dan duku sebanyak 180 kg. jika keuntungan penjualan buah manggis adalah Rp. 1.200,00/kg dan buah duku sebesar Rp. 1.000,00/kg, maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh bapak Darman!

memahami masalah diketahui: harga buah manggis yang dibeli adalah Rp. 8.000,00/kg, sedangkan harga buah duku yang dibeli adalah Rp. 6.000,00/kg. modal yang dimiliki bapak darman sebanyak Rp. 1.200.000,00. Keuntungan dari penjualan buah manggis adalah Rp. 1.200,00/kg sedangkan keuntungan dari penjualan buah duku adalah Rp. 1.000,00/kg. Gerobak dagangan bapak darman hanya dapat menampung buah manggis dan buah duku sebanyak 180 kg. dapat ditulis dalam bentuk tabel batasan: Ditanya : Jika keuntungan penjualan buah manggis adalah Rp. 1.200,00/kg dan buah duku sebesar Rp. 1.000,00/kg, maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh bapak Darman! menyusun rencana penyelesaian masalah mendefinisikan variabel menentukan fungsi obyektif menyusun model matematika dari setiap kendala yang ada persyaratan non negatif Mengambar daerah penyelesaian yang memenuhi kendala Menentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian. Mensubstitusikan masing-masing titik pojok ke fungsi obyektif. Memilih titik yang menjadikan nilai fungsi obyektif menjadi maksimum. melaksanakan rencana penyelesaian masalah Dapat diperoleh grafik  Maka : Jadi, keuntungan terbesar yang diperoleh bapak darman adalah sebesar Rp. 192.000,00.

Sudah selesai membaca dan berlatih Soal Program Linear ini ? Ayo lihat dulu  Soal Matematika  lainnya

Sebarkan ini:

Posting terkait:.

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika [Update 50 Butir]

Contoh Soal Lingkaran Kelas 8 SMP dan Jawaban [Update]

65+ Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Jawaban [Update]

2 komentar.

TERIMAKASIH BANYAK 👍👍👍👍

TERIMA KASIH IZIN DOUWNLOAD, MOHON BISA DIKIRIM METERI LEWAT EMAIL INI, SEMOGA JADI AMAL BAIK SDR KU

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Simpan nama, email, dan situs web saya pada peramban ini untuk komentar saya berikutnya.

Daftar Materi

• Materi Kimia
• Materi Biologi
• Materi Fisika

Daftar Soal

• Soal Biologi
• Soal Fisika
• Soal Matematika

Search Your Topic

Pilih kumpulan soal, deskripsi situs.

Soalkimia.com adalah situs yang diciptakan untuk membantu peserta didik dan pendidik dalam memberikan kumpulan contoh soal dan pembahasan dari berbagai mata pelajaran yang ada di Sekolah ataupun di Universitas.

10 Contoh Soal Program Linear Beserta Jawabannya

Program linear adalah metode matematika yang digunakan untuk menentukan solusi optimal dari permasalahan pengambilan keputusan bisnis yang melibatkan keterbatasan-keterbatasan dan tujuan-tujuan yang ditetapkan sebelumnya.

Program linear menggunakan persamaan dan ketidak-sederhanaan linear untuk mengoptimalkan sebuah fungsi tujuan dalam permasalahan tertentu.

Tujuan dari program linear adalah untuk mencari nilai optimal dari variabel yang ditentukan dalam suatu sistem dengan batasan yang telah ditetapkan sebelumnya.

Program Linear adalah teknik yang powerful dan dapat digunakan untuk memecahkan berbagai masalah yang kompleks.

Table of Contents

Contoh Soal Program Linear

Berikut adalah beberapa contoh soal program linear:

Sebuah perusahaan memiliki modal Rp100 juta untuk memproduksi dua jenis barang, yaitu barang A dan barang B. Harga jual barang A adalah Rp20.000 per unit dan harga jual barang B adalah Rp15.000 per unit. Biaya produksi barang A adalah Rp10.000 per unit dan biaya produksi barang B adalah Rp5.000 per unit. Perusahaan ingin memaksimalkan keuntungannya.

Misalkan x adalah jumlah barang A yang diproduksi dan y adalah jumlah barang B yang diproduksi. Fungsi tujuannya adalah:

f(x, y) = 20.000x + 15.000y

Persyaratan batasnya adalah:

x + y <= 100 10.000x + 5.000y <= 100.000

Solusinya adalah:

x = 50 y = 50

Dengan solusi ini, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan adalah Rp1.250.000.

Sebuah peternakan memiliki 100 hektar lahan untuk ditanami dua jenis tanaman, yaitu tanaman padi dan tanaman jagung. Harga jual tanaman padi adalah Rp5.000 per hektar dan harga jual tanaman jagung adalah Rp4.000 per hektar. Kebutuhan air tanaman padi adalah 50 liter per hektar dan kebutuhan air tanaman jagung adalah 40 liter per hektar. Peternakan memiliki pasokan air sebanyak 4.000 liter.

Misalkan x adalah luas lahan yang ditanami tanaman padi dan y adalah luas lahan yang ditanami tanaman jagung. Fungsi tujuannya adalah:

f(x, y) = 5.000x + 4.000y

x + y <= 100 50x + 40y <= 4.000

x = 60 y = 40

Dengan solusi ini, pendapatan maksimum yang dapat diperoleh peternakan adalah Rp24.000.

Sebuah perusahaan memiliki dua mesin, yaitu mesin A dan mesin B. Mesin A dapat memproduksi 10 unit produk per jam dan mesin B dapat memproduksi 8 unit produk per jam. Perusahaan memiliki permintaan produk sebanyak 100 unit per hari.

Misalkan x adalah jumlah jam yang digunakan mesin A dan y adalah jumlah jam yang digunakan mesin B. Fungsi tujuannya adalah:

f(x, y) = 10x + 8y

x + y <= 24

x = 12 y = 12

Dengan solusi ini, perusahaan dapat memenuhi permintaan produk sebanyak 100 unit per hari.

Sebuah perusahaan memiliki dua pabrik, yaitu pabrik A dan pabrik B. Pabrik A dapat memproduksi 100 unit produk per hari dan pabrik B dapat memproduksi 200 unit produk per hari. Perusahaan memiliki permintaan produk sebanyak 300 unit per hari. Biaya produksi di pabrik A adalah Rp10.000 per unit dan biaya produksi di pabrik B adalah Rp8.000 per unit. Perusahaan ingin meminimalkan biaya produksinya.

Misalkan x adalah jumlah produk yang diproduksi di pabrik A dan y adalah jumlah produk yang diproduksi di pabrik B. Fungsi tujuannya adalah:

f(x, y) = 10.000x + 8.000y

x + y <= 300

x = 150 y = 150

Dengan solusi ini, biaya produksi minimum yang dapat diperoleh perusahaan adalah Rp3.000.000.

Sebuah perusahaan memiliki dua jenis bahan baku, yaitu bahan baku A dan bahan baku B. Bahan baku A dapat digunakan untuk memproduksi 5 unit produk dan bahan baku B dapat digunakan untuk memproduksi 4 unit produk. Perusahaan memiliki 100 unit bahan baku A dan 80 unit bahan baku B. Perusahaan ingin memaksimalkan jumlah produk yang dapat diproduksinya.

Misalkan x adalah jumlah bahan baku A yang digunakan dan y adalah jumlah bahan baku B yang digunakan. Fungsi tujuannya adalah:

f(x, y) = 5x + 4y

x <= 100 y <= 80

x = 100 y = 40

Dengan solusi ini, jumlah produk maksimum yang dapat diproduksi perusahaan adalah 400 unit.

Sebuah perusahaan memiliki dua jenis mesin, yaitu mesin A dan mesin B. Mesin A dapat memproduksi 10 unit produk per jam dan mesin B dapat memproduksi 8 unit produk per jam. Perusahaan memiliki permintaan produk sebanyak 200 unit per hari. Perusahaan ingin meminimalkan jumlah mesin yang digunakannya.

f(x, y) = x + y

10x + 8y <= 200

x = 10 y = 10

Dengan solusi ini, jumlah mesin minimum yang dapat digunakan perusahaan adalah 20 jam.

Sebuah perusahaan memiliki dua jenis bahan baku, yaitu bahan baku A dan bahan baku B. Bahan baku A dapat digunakan untuk memproduksi 10 unit produk dan bahan baku B dapat digunakan untuk memproduksi 5 unit produk. Perusahaan memiliki 200 unit bahan baku A dan 100 unit bahan baku B. Perusahaan ingin memaksimalkan jumlah produk yang dapat diproduksinya dengan batasan biaya produksi tidak boleh melebihi Rp10.000.000.

f(x, y) = 10x + 5y

x <= 200 y <= 100 10x + 5y <= 10.000.000

x = 100 y = 50

Dengan solusi ini, jumlah produk maksimum yang dapat diproduksi perusahaan adalah 500 unit.

Sebuah perusahaan memiliki dua jenis mesin, yaitu mesin A dan mesin B. Mesin A dapat memproduksi 10 unit produk per jam dan mesin B dapat memproduksi 8 unit produk per jam. Perusahaan memiliki permintaan produk sebanyak 300 unit per hari. Perusahaan ingin meminimalkan biaya produksinya dengan batasan waktu produksi tidak boleh melebihi 24 jam.

Sebuah perusahaan memiliki dua jenis bahan baku, yaitu bahan baku A dan bahan baku B. Bahan baku A dapat digunakan untuk memproduksi 5 unit produk dan bahan baku B dapat digunakan untuk memproduksi 4 unit produk. Perusahaan memiliki 100 unit bahan baku A dan 80 unit bahan baku B. Perusahaan ingin memaksimalkan jumlah produk yang dapat diproduksinya dengan batasan biaya produksi tidak boleh melebihi Rp10.000.000 dan waktu produksi tidak boleh melebihi 24 jam.

x <= 100 y <= 80 10x + 5y <= 10.000.000 x + y <= 24

x = 80 y = 40

Dengan solusi ini, jumlah produk maksimum yang dapat diproduksi perusahaan adalah 320 unit.

Sebuah perusahaan memiliki dua jenis mesin, yaitu mesin A dan mesin B. Mesin A dapat memproduksi 10 unit produk per jam dan mesin B dapat memproduksi 8 unit produk per jam. Perusahaan memiliki permintaan produk sebanyak 300 unit per hari. Perusahaan ingin meminimalkan biaya produksinya dengan batasan waktu produksi tidak boleh melebihi 24 jam dan mesin A harus digunakan selama minimal 10 jam.

x + y <= 24 x >= 10

x = 20 y = 4

Dengan solusi ini, biaya produksi minimum yang dapat diperoleh perusahaan adalah Rp3.200.000.

Sastrawacana.id

Pada sebuah kantor bekerja 12 juru ketik di mana setiap orang mengetik 12 halaman setiap hari, dua lingkaran mempunyai garis tengah 26 mm dan 1,855 cm. berapakah beda kedua garis tengah itu, bagio untuk membuat sebuah radio membutuhkan waktu 90 hari, sebuah mesin menggerakkan sebuah roda besar dan sebuah roda kecil. roda yang besar membuat 12 perputaran apabila yang kecil membuat 32 perputaran, artikel terkait.

Sarah biasanya memerlukan waktu 53 menit untuk pergi ke kantor. Pagi ini ia membutuhkan waktu 1 jam 15 menit

Gambaran Tentang Perasaan Penyair dalam Membuat Puisi Disebut?

Bagian mata yang mengatur jumlah cahaya yang masuk ke dalam mata adalah?

Sebuah pabrik kertas didirikan di lahan yang dekat dengan sumber bahan bakunya

Salah satu sebab pendekatan berbasis aset dipandang lebih baik dibandingkan pendekatan berbasis kekurangan adalah?

Ide Baru yang Terlahir dari Apresiasi Bersifat?

Adblock Detected

AJAR HITUNG

Soal & pembahasan Matematika SD, SMP & SMA

Monday 19 July 2021

Latihan soal dan pembahasan sistem persamaan linear dua variabel (spldv).

Hai adik-adik ajar hitung, kembali lagi dengan materi baru.. hari ini kita mau latihan soal tentang sistem persamaan liner dua variabel atau biasa kita singkat SPLDV. Tanpa perlu berlama-lama yuk kita mulai..

1. Variabel dari persamaan 2x + 3y – 10 = 0 adalah...

persamaan 2x + 3y – 10 = 0 memiliki 2 variabel, yaitu x dan y.

Jawaban yang tepat A.

2. Jika digambarkan pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berupa...

a. Garis lurus

b. Sebuah titik

c. Sebuah elips

d. Parabola

Jika digambarkan pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berupa titik.

Jawaban yang tepat B.

3. Persamaan berikut yang merupakan persamaan linear dua variabel adalah...

a. 8a – b = 7

b. 4 + b = 8

c. 2 – 3x = 1

d. x 2   + 2x = 8

Pilihan A merupakan persamaan linear 2 variabel. Dengan variabel a dan b.

4. Diketahui persamaan linear dua variabel 6p – 5q = 11. Jika nilai p adalah 6, maka nilai q adalah...

6p – 5q = 11, ganti p dengan 6

6(6) – 5q = 11

36 – 5q = 11

-5q = 11 – 36

5. Jika penyelesaian dari 5x – y = 8 dan 2x +3y = 27 adalah (p, q), maka nilai dari 2p – q sama dengan ...

                                                            17 x = 51

                              x = 51/17

                              x = 3

Subtitusikan x = 3 pada persamaan 5x – y = 8

5x – y = 8

5(3) – y = 8

15 – y = 8

-y = 8 – 15

Maka nilai p = x = 3

Nilai q = y = 7

Sehingga nilai 2p – q = 2(3) – 7

             = 6 – 7

             = -1

6. Jika digambarkan dalam bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari x + 2y = 2 dengan x ϵ {1, 2, 3} dan y ϵ bilangan asli adalah...

x + 2y = 2 kita ubah x dengan 1, 2, dan 3

untuk x = 1 maka 1 + 2y = 2

                              2y = 2 – 1

                              2y = 1

                              y = ½ maka titiknya adalah (1, ½ )

untuk x = 2 maka 2 + 2y = 2

                                   2y = 2 – 2

                                   2y = 0

                                   y = 0 maka titiknya adalah (2, 0 )

untuk x = 3 maka 1 + 2y = 2

                                   2y = 2 – 3

                                   2y = -1

                                   y = - ½ maka titiknya adalah (1, - ½ )

Maka, kita gambarkan ketiga titik di atas menjadi:

7. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 7 dan -3x + 3y = -15 adalah..

a. {(2, 3)}

b. {(-2, 3)}

c. {(-3, 2)}

d. {(3, -2)}

                                                                      -3y = 6

                                             y = 6/-3

                                     y = -2

Subtitusikan y = -2 ke dalam persamaan x – 2y = 7

x – 2y = 7

x – 2(-2) = 7

Maka himpunan persamaannya = {(3, -2)}

Jawaban yang tepat D.

8. Suatu bilangan cacah jika dikalikan 5 kemudian hasilnya ditambah 25, maka diperoleh 55. Bilangan tersebut adalah...

Misal bilangan cacah itu A, maka:

(A x 5) + 25 = 55

5A + 25 = 55

5A = 55 – 25

Jadi, bilangan tersebut adalah 6.

Jawaban yang tepat C.

b. {(-3, 6)}

c. {(-5, 2)}

d. {(1, 3)}

Subtitusikan x = -3 dalam persamaan x + 2y = 9

(-3)+ 2y = 9

Maka himpunan persamaannya adalah = {(-3, 6)}

3x + 2y = 36 ..... (persamaan i)

3x – 2y = 12 .... (persamaan ii)

Selanjutnya baru hitung persamaan i dan ii

          4y = 24

          y = 24/4

         y = 6

Subtitusikan y = 6 pada persamaan 3x + 2y = 36

3x + 2y = 36

3x + 2(6) = 36

3x = 36 – 12

Maka nilai x + y = 8 + 6 = 14

                                                34 y = 136

                                               y = 136/34

                                          y = 4

Subtitusikan y = 4 pada persamaan 5x + 3y = 7

5x + 3y = 7

5x + 3(4) = 7

5x + 12 = 7

5x = 7 – 12

Maka nilai x . y = -1 . 4 = -4

12. Sebuah persegi panjang diketahui selisih panang dan lebarnya 12 m. Jika kelilingnya tidak lebih dari 400 m, maka lebarnya tidak lebih dari....

a. 94 meter

b. 90 meter

c. 84 meter

d. 72 meter

Misal panjang = p dan lebar = l

p – l = 12 maka p = 12 + l

K ≤ 400 m

2(p + l) ≤ 400

2 (12 + l + l) ≤ 400

2 (12 + 2 l) ≤ 400

24 + 4 l ≤ 400

4 l ≤ 400 – 24

4 l ≤ 376

l ≤ 376 : 4

l ≤ 94

13. Sebuah bilangan terdiri atas dua angka. Jumlah kedua angkanya 9. Nilai bilangan tersebut sama dengan 6 kali angka pertama ditambah dengan 15. Bilangan tersebut adalah...

Misal dua angka tersebut A dan B. Maka bilangan itu adalah AB.

AB = 6A + 15

Pilihan A, 18 ≠ 6(1) + 15 (salah)

Pilihan B, 27 = 6(2) + 15 

a. Segitiga

b. Segi empat

c. Segi lima

d. Segi enam

Langkah pertama tentukan titik-titik (x, y):

- Garis 8x + 3y ≥ 24

          x = 0 maka 8(0) + 3y = 24

                                   3y = 24

                                   y = 24 : 3

                                   y = 8 (sehingga titik yang kita gambar = (0, 8)

          y = 0 maka 8x + 3(0) = 24

                                   8x = 24

                                      x = 24 : 8

                                      x = 3 (sehingga titik yang kita gambar = (3, 0)

- Garis 4x + 9y ≤ 36

          x = 0 maka 4(0) + 9y = 36 

                                   9y = 36

                                   y = 36 : 9

                                     y = 4 (sehingga titik yang kita gambar = (0, 4)

            y = 0 maka 4x + 9(0) = 36

                                   4x = 36

                                      x = 36 : 4

                                     x = 9 (sehingga titik yang kita gambar = (9, 0)

HP atau himpunan penyelesaian (daerah yang diarsir) berbentuk segitiga.

a. {(-2, 8)}

b. {(-2, -8)}

c. {(8, -12)}

d. {(8, 2)}

                         -7x = 14

                              x = 14 : -7

                         x = -2

Subtitusikan x = -2 pada persamaan -5x + y = 2

-5x + y = 2

-5 (-2) + y = 2

y = 2 – 10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-2, -8)}

                                                       -13y = -13

                         y = -13 : -13

                         y = 1

Subtitusikan y = 1 pada persamaan x – 3y = -1

x – 3y = -1

x – 3 (1) = -1

x – 3 = -1

Jadi, nilai 5x – 6y = 5 (2) – 6 (1) = 10 – 6 = 4

                                      10x = 5

                    x = 5/10

                 x = ½ 

                         -4y = -12

                              y = -12 : -4

                              y = 3

Subtitusikan y = 3 dalam persamaan x + 3y = 16

x + 3y = 16

x + 3(3) = 16

x = 16 – 9

Maka nilai x + y = 7 + 3 = 10

                              7x = 14

                              x = 14 : 7

                              x = 2

Subtitusikan x = 2 pada persamaan 2x – y = 5

2x – y = 5

2(2) – y = 5

4 – y = 5

-y = 5 – 4

Maka nilai dari x + y = 2 + (-1) = 1

20. Alif membeli 3 buku dan 5 bolpoint. Alif harus membayar Rp19.000,00. Tia membayar Rp32.000,00 untuk membeli 8 buku dan 4 bolpoint. Uang yang harus dibayar oleh Didi jika ia membeli 10 buku dan 5 bolpoin adalah...

a. Rp10.000,00

b. Rp28.000,00

c. Rp35.000,00

d. Rp40.000,00

Misal: buku = x

   Bolpoint = y

                                        -28 x = -84.000

                                                  x = -84.000 : -28

                                                  x = 3.000

Subtitusikan x = 3.000 dalam persamaan 3x + 5y = 19.000

3x + 5y = 19.000

3(3.000) + 5y = 19.000

9.000 + 5y = 19.000

5y = 19.000 – 9.000

5y = 10.000

y = 10.000 : 5

Maka, nilai 10x + 5y = 10(3.000) + 5(2.000) = 30.000 + 10.000 = 40.000

Jadi, Uang yang harus dibayar oleh Didi jika ia membeli 10 buku dan 5 bolpoin adalah Rp40.000,00

21. Dua tahun yang lalu umur Pak Ali enam kali umur Imran. Delapan belas tahun kemudian umur beliau akan menjadi dua kali umur Imran. Maka umur Pak Ali dan umur Imran sekarang berturut-turut...

a. 32 tahun dan 7 tahun

b. 40 tahun dan 15 tahun

c. 35 tahun dan 10 tahun

d. 37 tahun dan 13 tahun

Misal umur Pak Ali saat ini = A

Umur Imran saat ini = B

A – 2 = 6 (B – 2)

A – 2 = 6B – 12

A – 6B = -12 + 2

A – 6B = -10 ... (persamaan i)

A + 18 = 2 (B + 18)

A + 18 = 2B + 36

A – 2B = 36 – 18

A – 2B = 18 .... (persamaan ii)

Selanjutnya selesaikan persamaan i dan ii

B = -28 : -4

Subtitusikan B = 7 ke dalam persamaan A – 6B = -10

A – 6B = -10

A – 6(7) = -10

A – 42 = -10

A = -10 + 42

Jadi, umur pak Ali sekarang = 32 tahun dan umur Imran sekarang = 7 tahun.

22. Garis ax + y = 5 dan ax – by = 9 saling berpotongan di titik (2, 1), maka ab sama dengan ...

Kedua garis saling berpotongan di titik (2, 1), maka nanti x diganti dengan 2 dan y diganti dengan 1.

a(2) + 1 = 5

2a = 5 – 1

Subtitusikan (2, 1) dan a = 2 pada persamaan ax – by = 9.

2(2) – b(1) = 9

4 – b = 9

-b = 9 – 4

Maka nilai a . b = 2 . (-5) = -10

23. Diketahui 3x + 4y = 7 dan -2x + 3y = -16, maka nilai 2x – 7y adalah...

                                             17y = -34

                                                  y = -34 : 17

                                                  y = -2

Subtitusikan y = -2 dalam persamaan 3x + 4y = 7

3x + 4y = 7

3x + 4(-2) = 7

3x – 8 = 7

Maka nilai dari 2x – 7y = 2(5) – 7(-2) = 10 + 14 = 24

24. Harga dua baju dan satu kaos Rp170.000,00, sedangkan harga satu baju dan tiga kaos Rp185.000,00. Harga tiga baju dan dua kaos adalah...

a. Rp275.000,00

b. Rp285.000,00

c. Rp305.000,00

d. Rp320.000,00

Misalkan: baju = x

          Kaos = y

                                   -5y = -200.000

                                        y = -200.000 : -5

                                        y = 40.000

Subtitusikan y = 40.000 pada persamaan 2x + y = 170.000

2x + y = 170.000

2x + 40.000 = 170.000

2x = 170.000 – 40.000

2x = 130.000

x = 130.000 : 2

Maka, nilai dari 3x + 2y = 3(65.000) + 2(40.000) = 195.000 + 80.000 = 275.000

Jadi, Harga tiga baju dan dua kaos adalah Rp275.000,00

25. Seorang pedagang buah menjual 8 buah mangga dan 12 buah apel dengan harga Rp152.000,00. Kemudian ia menjual lagi 16 buah mangga dan 8 apel dengan harga Rp176.000,00. Harga satu mangga dan satu apel masing-masing...

a. Mangga Rp8.000,00 dan apel Rp7.000,00

b. Mangga Rp7.000,00 dan apel Rp7.000,00

c. Mangga Rp8.000,00 dan apel Rp8.000,00

d. Mangga Rp7.000,00 dan apel Rp8.000,00

Misalkan: mangga = x

          Apel = y

                                        16y = 128.000

                                             y = 128.000 : 16

                                             y = 8.000

Sutitusikan y = 8.000 dalam persamaan 8x + 12y = 152.000

8x + 12y = 152.000

8x + 12(8.000) = 152.000

8x + 96.000 = 152.000

8x = 152.000 – 96.000

8x = 56.000

x = 56.000 : 8

Jadi, harga 1 mangga = Rp7.000,00 dan harga 1 apel = Rp8.000,00

Sampai disini ya adik-adik.. sampai bertemu di pembahasan soal yang akan datang.. selamat belajar...

Related Posts

No comments:, post a comment.